§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра
1.
Рассмотрим сначала тот случай, когда характеристическое уравнение
не имеет кратных
корней. Корни этого уравнения – характеристические числа матрицы
– обозначим через
. Тогда
,
и
условия (6) записываются так:
.
В
этом случае
является
обычным интерполяционным многочленом Лагранжа для функции
в точках
:
.
Согласно
определению 1'
.
2.
Допустим теперь, что характеристический многочлен имеет кратные корни, но
минимальный многочлен, являющийся делителем характеристического, имеет только
простые корни:
.
В
этом случае (как и в предыдущем) все показатели
в (1) равны единице, и равенства (6)
принимают вид
.
снова
является обычным интерполяционным многочленом Лагранжа и
.
3.
Рассмотрим общий случай:
.
Представим
правильно-дробную функцию
в виде суммы простых дробей:
, (9)
где
– некоторые
числа.
Для
определения числителей простых дробей
умножим обе части этого равенства на
и обозначим через
многочлен
.
Получим:
, (10)
где
–
рациональная функция, регулярная при
.
Отсюда
(11)
Формулы
(11) показывают, что числители
правой части равенства (9) выражаются
через значения многочлена
на спектре матрицы
, а эти значения
нам известны: они равны соответствующим значениям функции
и ее производных. Поэтому
,
. (12)
Формулы
(12) можно еще сокращенно записать так:
. (13)
После
того как все
найдены,
мы определяем
из
следующей формулы, которая получается умножением обеих частей равенства (9) на
:
. (14)
В
этой формуле выражение в квадратных скобках, стоящее в качестве множителя перед
, в силу
(13) равно сумме первых
членов разложения Тейлора по степеням
для
функции
.
Пример.
.
Тогда
.
Отсюда
и,
следовательно,
.
найдем
из следующих формул:
Примечание
1. Интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра может быть получен предельным
переходом из интерполяционного многочлена Лагранжа.
Пусть
.
Обозначим
через
интерполяционный
многочлен Лагранжа, построенный для
точек
.
Тогда
нетрудно показать, что искомый многочлен Лагранжа–Сильвестра определяется
формулой
.
Примечание
2. Пусть
–
вещественная матрица, т. е. матрица с вещественными элементами. Тогда
минимальный многочлен
имеет вещественные коэффициенты и его
корни, т. е. характеристические числа
, либо вещественны, либо попарно
комплексно сопряжены, причем, если
, то соответствующие кратности равны:
. Условимся
говорить, что функция
вещественна на спектре матрицы
, если для
вещественного
все
ее значения на спектре
вещественны, а для двух комплексно
сопряженных характеристических чисел
и
соответствующие значения на спектре
комплексно сопряжены:
. В этом случае
– вещественная матрица.
Действительно, в данном случае согласно формулам (12)
– вещественные числа и
; при этом для
вещественного
многочлен
имеет
вещественные коэффициенты, а коэффициенты многочленов
и
(при
) – комплексно сопряжены.
Поэтому в силу формулы (14) интерполяционный многочлен
имеет вещественные
коэффициенты. Но тогда
, а значит и
,– вещественная матрица.