§ 5. Матричное многочленное уравнение
Рассмотрим
уравнения
, (41)
, (42)
где
– заданные,
а 
и 
– искомые
квадратные матрицы порядка 
. Уравнение (33), рассмотренное в
предыдущем параграфе, представляет собой весьма частный (можно сказать,
тривиальный) случай уравнений (41), (42) и получается из последних, если
положить 
,
где 
–
число и 
.
Следующая
теорема устанавливает связь между уравнениями (41), (42) и (33).
Теорема
4. Каждое решение матричного уравнения
удовлетворяет
скалярному уравнению
, (43)
где
. (44)
Этому
же скалярному уравнению удовлетворяет и любое решение матричного уравнения
.
Доказательство.
Обозначим через 
матричный
многочлен
.
Тогда
уравнения (41) и (42) запишутся так (см. стр. 88):
.
Согласно
обобщенной теореме Безу (гл. IV, § 2), если и – решения этих уравнений, то
матричный многочлен делится справа на 
и слева на 
:
.
Отсюда
, (45)
где
и 
–
характеристические многочлены матриц и . По теореме Гамильтона–Кэли (гл. IV,
§ 3)
.
Поэтому
из (45) вытекает:
.
Теорема
доказана.
Мы
доказали, что каждое решение уравнения (41) удовлетворяет скалярному уравнению (степени
)
.
Но
множество матричных решений этого уравнения с заданным порядком распадается на
конечное число классов подобных между собой матриц (см. § 4). Поэтому все
решения уравнения (41) приходится искать среди матриц вида
(46)
здесь
–
известные матрицы; при желании можно считать, что имеют нормальную жорданову форму; 
– произвольные
неособенные матрицы -го порядка; 
. Подставим в (41) вместо матрицу (46) и
подберем так,
чтобы удовлетворялось уравнение (41). Для каждого получим свое линейное уравнение
. (47)
Единственный
способ, который мы можем предложить для нахождения решения уравнения (47), заключается
в замене матричного уравнения системой линейных однородных скалярных уравнений
относительно элементов искомой матрицы . Каждое неособенное решение уравнения (47),
будучи подставлено в (46), дает решение данного уравнения (41). Аналогичные
рассуждения могут быть проведены для уравнения (42).
В
следующих двух параграфах мы рассмотрим частные случаи уравнения (41),
связанные с извлечением корня 
-й степени из матрицы.
Заметим,
что теорема Гамильтона–Кэли является частным случаем теоремы 4. В самом деле,
любая квадратная матрица 
, будучи подставлена вместо 
, удовлетворяет
уравнению
.
Поэтому
в силу доказанной теоремы
,
где
.
Теорема
4 может быть обобщена следующим образом:
Теорема
5 (Филлипса). Если попарно перестановочные между собой квадратные матрицы -го порядка 
удовлетворяют
матричному уравнению
(48)
( – заданные
квадратные матрицы -го порядка), то эти же матрицы удовлетворяют
скалярному уравнению
, (49)
где
. (50)
Доказательство.
Положим
;
–
скалярные переменные.
Обозначим
через 
присоединенную
матрицу для матрицы 
[
есть алгебраическое дополнение
(адъюнкта) элемента 
в определителе 
]. Тогда каждый элемент матрицы 
есть однородный
многочлен относительно 
степени 
, и потому матрицу можно представить в виде
,
где
– некоторые
постоянные матрицы порядка .
Из
определения матрицы следует тождество
.
Запишем
это тождество следующим образом:
. (51)
Переход
от левой части к правой части в тождестве (51) осуществляется путем раскрытия
скобок и приведения подобных членов. При этом приходится переставлять местами
переменные между
собой и не приходится переставлять местами переменные с матричными коэффициентами
и . Поэтому равенство
(51) не нарушится, если мы вместо переменных подставим попарно перестановочные
между собой матрицы :
. (52)
Но
по условию .
Тогда из (52) находим: , что и требовалось доказать.
Замечание
1. Теорема 5 сохраняет свою силу, если уравнение (48) заменить уравнением
. (53)
Действительно,
теорему 5 можно применить к уравнению
и
затем перейти в этом уравнении почленно к транспонированным матрицам.
Замечание
2. Теорема 4 получится как частный случай теоремы 5 если в качестве взять
.
