§ 2. Канонический вид -матрицы

1. Выясним сначала, к какому сравнительно простому виду можно привести прямоугольную многочленную матрицу  путем применения одних только левых элементарных операций.

Допустим, что в первом столбце матрицы  имеются элементы, не равные тождественно нулю. Возьмем среди них многочлен наименьшей степени и путем перестановки строк сделаем его элементом . После этого разделим многочлен  на ; частное и остаток обозначим через  и

         .

Вычтем теперь из -й строки первую строку, предварительно умноженную на  . Если при этом не все остатки  равны тождественно нулю, то тот из них, который не равен нулю и имеет наименьшую степень, может быть перестановкой строк поставлен на место . В результате всех этих операций степень многочлена  понизится.

Теперь мы снова повторим этот процесс и т. д. Так как степень многочлена  конечна, то на некотором этапе этот процесс уже нельзя будет продолжить, т. е. на этом этапе все элементы  окажутся равными тождественно нулю.

После этого возьмем элемент  и применим ту же процедуру к строкам с номерами . Тогда добьемся того, что и . Продолжая так далее, мы в конце концов приведем матрицу  к следующему виду:

                 (5)

Если многочлен  не равен тождественно нулю, то, применяя левую элементарную операцию второго типа, мы сделаем степень элемента  меньшей, нежели степень  (если  имеет нулевую степень, то  станет тождественно равен нулю). Точно так же, если , то при помощи левых элементарных операций второго типа мы сделаем степени элементов  меньшими, нежели степень , не изменив при этом элемента , и т. д.

Мы установили следующую теорему:

Теорема 1. Произвольная прямоугольная многочленная матрица с размерами  при помощи левых элементарных операций всегда может быть приведена к виду (5), где многочлены  имеют меньшую степень, нежели , если только , и все равны тождественно нулю, если  .

Совершенно аналогично доказывается

Теорема 2. Произвольная прямоугольная многоценная матрица с размерами  при помощи правых элементарных операций всегда может быть приведена к виду

                (6)

где многочлены  имеют меньшую степень, нежели , если только , и все равны тождественно нулю, если  .

2. Из теорем 1 и 2 вытекает следующее

Следствие. Если определитель квадратной многоценной матрицы  не зависит от  и отличен от нуля, то эту матрицу можно представить в виде произведения конечного числа элементарных матриц.

Действительно, согласно теореме 1 матрицу  при помощи левых элементарных операций можно привести к виду

                    (7)

где  – порядок матрицы . Так как при применении элементарных операций к квадратной многочленной матрице определитель этой матрицы умножается лишь на постоянный отличный от нуля множитель, то определитель матрицы (7), как и определитель , не зависит от  и отличен от нуля, т. е.

.

Отсюда

 .

Но тогда в силу той же теоремы 1 матрица (7) имеет диагональный вид  и потому может быть приведена при помощи левых элементарных операций типа 1 к единичной матрице . Тогда и обратно, единичную матрицу  можно привести к  при помощи левых элементарных операций с матрицами . Следовательно,

.

Из доказанного следствия получаем (см. стр. 137 – 138) равносильность двух определений 2 и 2' эквивалентности многочленных матриц.

3. Вернемся к нашему примеру системы дифференциальных уравнений (4). Применим теорему 1 к матрице операторных коэффициентов . Тогда, как было указано на стр. 138, система (4) заменится равносильной системой

              (4')

где . В этой системе мы функции  можем выбрать произвольно, после чего последовательно определятся функции , причем на каждом этапе этого определения приходится интегрировать одно дифференциальное уравнение с одной неизвестной функцией.

4. Перейдем теперь к установлению «канонического» вида, к которому можно привести прямоугольную многочленную матрицу , применяя к ней как левые, так и правые элементарные операции.

Среди всех не равных тождественно нулю элементов  матрицы  возьмем тот элемент, который имеет наименьшую степень относительно , и путем соответствующей перестановки строк и столбцов сделаем его элементом . После этого найдем частные и остатки от деления многочленов  и  на :

Если хотя бы один из остатков  , например , не равен тождественно нулю, то, вычитая из -го столбца первый столбец, предварительно помноженный на , мы заменим элемент  остатком , который имеет меньшую степень, нежели . Тогда мы имеем возможность снова уменьшить степень элемента, стоящего в левом верхнем углу матрицы, поместив на это место элемент с наименьшей степенью относительно .

Если же все остатки ;  равны тождественно нулю, то, вычитая из -й строки первую, помноженную предварительно на  , а из -го столбца – первый, предварительно помноженный на  , мы приведем нашу многочленную матрицу к виду

Если при этом хотя бы один из элементов   не делится без остатка на , то, прибавляя к первому столбцу тот столбец, который содержит этот элемент, мы придем к предыдущему случаю и, следовательно, снова сможем заменить элемент  многочленом меньшей степени.

Поскольку первоначальный элемент  имел определенную степень и процесс уменьшения этой степени не может неограниченно продолжаться, то после конечного числа элементарных операций мы должны получить матрицу вида

                   (8)

в которой все элементы  делятся без остатка на . Если среди этих элементов  имеются не равные тождественно нулю, то, продолжая тот же процесс приведения для строк с номерами  и столбцов с номерами , мы матрицу (8) приведем к виду

где  делится без остатка на , а все многочлены  делятся без остатка на . Продолжая этот процесс далее, мы в конце концов придем к матрице вида

                (9)

где многочлены   не равны тождественно нулю и каждый из них делится без остатка на предыдущий.

Помножая первые  строк на соответствующие отличные от нуля числовые множители, мы сможем добиться того, чтобы старшие коэффициенты многочленов  были равны единице.

Определение 3. Многочленная прямоугольная матрица называется канонической диагональной, если она имеет вид (9), где 1) многочлены  не равны тождественно нулю и 2) каждый из многочленов  делится без остатка на предыдущий. При этом предполагается, что старшие коэффициенты всех многочленов  равны единице.

Таким образом, мы доказали, что произвольная прямоугольная многочленная матрица  эквивалентна некоторой канонической диагональной. В следующем параграфе мы покажем, что многочлены  однозначно определяются заданием матрицы , и установим формулы, связывающие эти многочлены с элементами матрицы .