§ 1. Некоторые формулы для комплексных ортогональных и унитарных матриц

Начнем с леммы.

Лемма 1. 1. Если матрица  одновременно является и эрмитовой и ортогональной (), то она представима в виде

,                                                               (1)

где  - вещественная симметрическая инволютивная матрица, а  - перестановочная с нею вещественная кососимметрическая матрица:

, , .                      (2)

2. Если дополнительно  является положительно определенной эрмитовой матрицей, то в формуле (1)  и

                                                                 (3)

Доказательство. 1. Пусть

,                                                           (4)

где  и  — вещественные матрицы. Тогда

 и .                                  (5)

Поэтому равенство  влечет: , , т.е  – симметрическая, а  – кососимметрическая матрица.

Далее, комплексное равенство  после подстановки в него выражений для  и  из (4) и (5) распадается па два вещественных равенства:

,                                           (6)

Второе из этих равенств показывает, что  и  коммутируют.

Согласно теореме 12' главы IX коммутирующие нормальные матрицы  и  можно одним и тем же вещественным ортогональным преобразованием привести к квазидиагональной канонической форме. Поэтому

   ()    (7)

(числа  и  вещественны). Отсюда

    (8)

С другой стороны, подставляя выражения (7) для  и  в первое из равенств (6), найдем:

,       (9)

Теперь нетрудно проверить, что матрица типа  при  всегда представима в виде

,

где

, , .

Поэтому в силу (8) и (9) имеем:

      (10)

т. е.

,

где

   (11)

и

.

Из (11) вытекают равенства (2).

2. Если дополнительно известно, что  — положительно определенная эрмитова матрица, то можно утверждать, что все характеристические числа матрицы  положительны (гл. IX). Но в силу формулы (10) этими характеристическими числами являются числа

[здесь знаки соответствуют знакам в формуле (10)].

Поэтому в формуле (10) и в последующей формуле (11) всюду, где стоит , сохраняется знак . Следовательно

,

что и требовалось доказать.

Лемма доказана полностью.

С помощью леммы мы докажем следующую теорему:

Теорема 1. Комплексная ортогональная матрица  всегда представима в виде

,                                                            (12)

где  — вещественная ортогональная, а  - вещественная кососимметрическая матрица

,                                (13)

Доказательство. Допустим, что формула (12) имеет место. Тогда

и

Теперь в силу предыдущей леммы искомую вещественную кососимметрическую матрицу  можно определить из равенства

                                                         (14)

поскольку матрица  -  положительно определенная эрмитова и ортогональная матрица. После того как матрица  определена из (14), мы находим  из (12).

                                                            (15)

Тогда

т. е.  - унитарная матрица. С другой стороны, из (15) следует, что матрица  как произведение двух ортогональных матриц сама ортогональна: . Таким образом,  является одновременно унитарной и ортогональной и, следовательно, вещественной ортогональной. Формулу (15) можно записать в виде (12).

Теорема доказана.

Установим теперь следующую лемму:

Лемма 2. Если матрица  является одновременно симметрической и унитарной (), то она всегда представима в виде

                                                               (16)

где  — вещественная симметрическая матрица ().

Доказательство. Положим

 (, ).                             (17)

Тогда

, .

Комплексное равенство  распадается на два вещественных:

, .

Таким образом,  и  — вещественные симметрические матрицы.

Равенство  влечет:

,                                      (18)

Согласно второму из этих равенств матрицы  и  коммутируют. Применяя к ним теорему 12' (вместе с примечанием) главы IX , получим:

,   (19)

Здесь , а  и   - вещественные числа. Теперь первое из равенств (18) дает:

   .

Поэтому существуют такие вещественные числа  , что

, ,   .

Подставляя эти выражения для  и  в (19) и пользуясь (17), найдем:

где

                                      (20)

Из (20) следует: .

Лемма доказана.

Пользуясь этой леммой, докажем следующую теорему:

Теорема 2. Унитарная матрица  всегда представима в виде

                                                              (21)

где  — вещественная ортогональная, a  - вещественная симметрическая матрица:

,                                                  (22)

Доказательство. Из формулы (21) следует

                                                            (23)

Перемножая почленно (21) и (23), получим в силу (22):

.

Согласно лемме 2 вещественную симметрическую матрицу  можно определить из уравнения

                                                          (24)

поскольку матрица  является симметрической унитарной. После того как матрица  определена, мы определим матрицу  равенством

                                                             (25)

Тогда

,                                                         (26)

и потому из (24), (25) и (26) вытекает

,

т. е.  - ортогональная матрица.

С другой стороны, согласно (25)  есть произведение двух унитарных матриц и, следовательно,  — унитарная матрица. Поскольку  одновременно является ортогональной и унитарной,  - вещественная матрица. Формулу (25) можно переписать в виде (21). Теорема доказана.