§ 2. Неравенства Неймана-Хорна

Пусть  – линейный оператор, действующий в -мерном унитарном пространстве . Собственные числа неотрицательного эрмитова оператора  (см. стр. 249) принято называть сингулярными числами оператора .

В настоящем параграфе мы установим неравенства, связывающие сингулярные числа произведения двух операторов с сингулярными числами сомножителей.

Пусть  и  – два набора векторов из . Введем сокращенное обозначение для определителя порядка , связанного с данными наборами:

.                   (25)

Рассмотрим далее неотрицательный эрмитов оператор , действующий в . Собственные значения оператора  занумеруем в убывающем порядке:

.              (26)

Справедливо следующее предложение, принадлежащее А. Хорну ([191b]):

Лемма 3. Пусть

                     (27)

– произвольный набор векторов из . Тогда

.                (28)

Для доказательства рассмотрим ортонормированный базис собственных векторов оператора :

                 (29)

и разложим каждый из векторов   по базису (29). Вычисляя скалярное произведение, получаем:

.                     (30)

Равенство (30) позволяет рассматривать матрицу определителя  как результат умножения двух прямоугольных матриц размеров  и .

Разлагая определитель по формуле Бине-Коши (см. стр. 20), получаем в принятых обозначениях для определителей:

.             (31)

Здесь

,                    (31')

а суммирование ведется по всевозможным наборам натуральных чисел .

Оценив правую часть (31) по неравенству Коши-Буняковского, получим:

.                       (32)

Вторая сумма в правой части неравенства (32) равна определителю Грама . В Этом легко убедиться, положив в формуле (31) , где  – единичный оператор. Впрочем, соответствующее равенство отдельно доказано на стр. 230 (формула (26)).

В первой сумме правой части (32) вынесем из каждого определителя (31') произведение  и заменим его большим . В результате получим:

.

Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратные корни, мы устанавливаем справедливость неравенства (28). Докажем далее следующий факт.

Лемма 4. Пусть  – произвольный оператор в  и

                   (33)

– его сингулярные числа. Тогда для произвольного набора векторов   справедливо неравенство

.                       (34)

Неравенство (34) немедленно следует из леммы 3 при .

Установим, наконец, еще одно вспомогательное предложение.

Лемма 5. Пусть  и  – линейные операторы в , и пусть  и   – сингулярные числа соответственно  и , занумерованные в убывающем порядке. Тогда при любом  справедливы неравенства

.                    (35)

Для доказательства рассмотрим ортонормированный базис  собственных векторов оператора . Последовательно применяя (34), получаем

.       (36)

С другой стороны, поскольку   – собственные векторы , мы имеем:

.            (37)

Следовательно, (35) имеет место.

Мы в состоянии теперь доказать следующую теорему, которая является основной целью настоящего параграфа.

Теорема 1 (Нейман-Хорн [218b, 191b]). Пусть  и  - линейные операторы в -мерном унитарном пространстве . Пусть  и пусть  и   – сингулярные числа операторов  и , занумерованные в порядке убывания.

Пусть  – непрерывная при  функция такая, что  – монотонно возрастающая выпуклая функция параметра . Тогда при всех  справедливы неравенства

.                   (38)

Доказательство. Пусть сначала операторы  и  невырождены, тогда все числа  и  положительны. Логарифмируя неравенства (35), получаем

.                 (39)

На основании леммы 2 имеем

.                 (40)

Так как , то отсюда следует (38). В случае вырожденных операторов неравенства (38) устанавливаются по непрерывности.

Замечание 1. В случае  получаем

.               (41)

В таком виде неравенства (38) встречаются в приложениях чаще всего.

Замечание 2. При  неравенство (39) превращается в равенство (см. сноску на стр. 540). Поэтому при  неравенство (40) справедливо для любой непрерывной выпуклой функции  (см. замечание к лемме 2).

В частности, неравенство (41) при  справедливо и для .

Замечание 3. Пусть

– сингулярные числа оператора  и пусть

– сингулярные числа оператора  ( – натуральное число). Тогда при любом  и любом

.                    (42)

Неравенства (42) докажем индукцией по . При  соотношение (42) очевидно; пусть оно выполняется для . Так как , то согласно (41)

.                  (43)

Применяя к правой части (43) неравенство Гёльдера с

 и                     ,

получаем

.             (44)

По предположению индукции, имеем для первой суммы в правой части (44):

.

Учитывая, что во второй сумме правой части (44) , легко получаем из (44):

,

что и требовалось доказать.

В частности, при  и  из формулы (42) следует, что

.                    (45)