Главная > Математика: Справ. материалы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 14. Объемы тел

58. Понятие объема простых тел.

Для простых тел объем — это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1. Равные тела имеют равные объемы.

2. Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей.

3. Объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.

Если куб, о котором идет речь в определении, имеет ребро 1 см, то объем измеряется в кубических сантиметрах; если ребро куба равно , то объем измеряется в кубических

метрах; если ребро куба равно 1 км, то объем измеряется в кубических километрах и т. д.

На рисунке 181 изображено простое тело — четырехугольная пирамида SABCD. Объем этой пирамиды на основании свойства 2 равен сумме объемов пирамид SABC и SADC.

59. Объем параллелепипеда, призмы и пирамиды.

Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле

где — ребра прямоугольного параллелепипеда. Исходя из этой формулы можно получить формулу для объема куба. Объем куба находят по формуле

где а — ребро куба.

Иногда говорят, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его линейных размеров или произведению площади его основания на высоту. Последнее утверждение верно и для любого параллелепипеда.

На рисунке 182 изображен наклонный параллелепипед. Его объем равен , где - площадь основания, а высота наклонного параллелепипеда.

Можно вывести правило нахождения объема любой призмы (в том числе и наклонной).

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту;

В случае прямой призмы (рис. 183) высота ее совпадает с боковым ребром и объем прямой призмы равен произведению площади основания на боковое ребро.

Объем любой пирамиды находится по формуле

где S — площадь основания, Н — высота пирамиды.

На рисунке 184 изображен правильный тетраэдр SABC с ребром а. Его объем равен

Пример. В наклонном параллелепипеде основание и боковая грань — прямоугольники, площади которых соответственно равны а угол между их плоскостями равен 80°. Одна боковых граней параллелепипеда имеет площадь Найти объем параллелепипеда.

Решение. Пусть в параллелепипеде грани прямоугольники. Тогда ребро AD перпендикулярно грани Дальнейшие вычисления можно выполнить, не находя длин этих отрезков. Имеем Перемножив эти равенства почленно, получим откуда

60. Объем цилиндра и конуса.

Объем любого тела определяется следующим образом. Данное тело нмеет объем V, если существуют содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, сколь угодно мало отличающимися от V.

Применив это определение к нахождению объемов цилиндра и конуса, можно доказать теоремы.

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, т. е.

Если радиус основания цилиндра R, а высота H, то формула его объема такова:

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту» т. е. .

Если радиус основания конуса H, а высота II, то объем его находится по формуле

Объем усеченного конуса можно найти по формуле

где радиусы оснований, Н — высота усеченного конуса. Объем усеченного конуса, изображенного на рисунке 185, находится по формуле

61. Общая формула объемов тел вращения.

Объем шара и его частей. Для вывода формулы объема тела вращения вводят декартовы координаты в пространстве, приняв ось тела за ось Плоскость пересекает поверхность тела по линии, для которой ось х является осью симметрии. Пусть уравнение той части линии, которая расположена над осью х (рис. 186).

При вычислении объема части тела вращения, заключенной между параллельными плоскостями пользуются формулой анализа (см. п. 228).

где — непрерывная на функция.

С помощью этой формулы можно получить формулы объемов конкретных тел вращения, выбрав соответственно систему координат и определив функцию

В частности, формула объема шара радиуса R такова:

Объем шарового сегмента, высота которого Н, а радиус R, находится по формуле

Формула объема шарового сектора:

где R — радиус шара, H — высота соответствующего шарового сегмента.

1
Оглавление
email@scask.ru