8.3. О ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Большинство микрокалькуляторов производят вычио ления и индикацию результатов с восьмиразрядными числами. Для большинства технических вычислений этого вполне достаточно.

Более того, известно, что излишние значащие цифры в ответе или промежуточном результате приносят большой вред. Они не только снижают скорость вычислений (особенно когда при расчетах на микрокалькуляторах приходится записывать промежуточный результат), но и приводят к серьезным техническим недоразумениям.

Разберем простой пример. Пусть резистор с сопротивлением Ом включен на напряжение . По закону Ома определим ток в цепи:

Воспользуемся микрокалькулятором:

Такое число будет высвечиваться на индикаторе микрокалькулятора после операции деления. Интуитивно чувствуется некоторое противоречие. Исходные числа имеют два десятичных знака, а результат — восемь.

Постараемся разобраться в этом подробнее. Абсолютно точное значение напряжения и сопротивления в электрической цепи определить невозможно. Поэтому исходные данные, участвующие в расчете, являются приближенными числами.

В записи приближенных чисел верны все знаки, кроме последнего, который может отличаться на единицу.

Таким образом, когда пишут Ом, то в действительности сопротивление цепи лежит в промежутке между

Математически это записывается так:

Можно считать, что абсолютная погрешность А (дельта) приближенного числа 4,64 не превосходит

Если бы мы хотели подчеркнуть, что сопротивление цепи составляет именно 4,64 Ом, следовало бы написать Тогда стало бы ясно, что измерение сопротивления производилось с четырьмя значащими цифрами, при этом гарантируется, что вторая цифра после запятой — 4, а сомнение может коснуться только последнего нуля. Абсолютная погрешность уменьшится до величины

Несмотря на сомнение в последнем знаке, говорят, что число 4,64 записано с тремя, а число 4 640 — с четырьмя верными знаками.

Количество верных знаков числа (исключая передние нули) определяет относительную погрешность приближенного числа.

Если число верных знаков , то наибольшая (предельная) относительная погрешность не превосходит Эта простейшая оценка достаточно грубая, и в курсах приближенных вычислений даются более точные методы определения относительной погрешности, но мы ограничимся этим простейшим методом.

Таким образом, можно сказать, что три сопротивления определены с одинаковой относительной погрешностью, равной или 0,1 %, хотя абсолютная погрешность всех этих приближенных чисел разная:

.

Таким образом, простейшие оценки точности приближенного числа можно сделать по форме его записи.

Количество верных знаков приближенного числа определяет его относительную погрешность, а число десятичных знаков — абсолютную.

Вернемся теперь к нашему примеру вычисления тока в цепи, где напряжение и сопротивление определены с тремя верными цифрами.

В теории приближенных вычислений доказывается, что при делении двух чисел относительные погрешности суммируются, а число верных знаков частного должно быть равно наименьшему количеству верных знаков чисел, участвующих в делении.

Поскольку напряжение и сопротивление определены с тремя верными знаками, ток в цепи можно определить тоже только с тремя верными знаками.

Таким образом,

Результат, полученный на индикаторе, следует округлить и оставить только три значащие цифры. Принимать во внимание все остальные цифры бессмысленно, поскольку они не являются достоверными.

Мы начали разговор о точности вычислений с операции деления. Теперь рассмотрим другие арифметические действия.

При умножении двух приближенных чисел действует такое же правило, как и при делении.

Пусть в электрической цепи заданы ток и сопротивление .

Необходимо найти величину напряжения

Умножая на микрокалькуляторе, получаем

Однако записать такой результат было бы неверно. В действительности наша запись исходных данных означает, что ток и сопротивление в цепи заключены в таких пределах:

Если взять минимальное значение тока и сопротивления, то получим

Максимальные значения тока и сопротивления дают такое напряжение:

Из сравнения этих двух значений видно, что ручаться можно только за два первых знака и значение напряжения в цепи следует округлить до значения

Следует отметить, что запись

была бы не совсем точной, поскольку здесь не два, а три верных знака.

Рассмотрим теперь, как производится арифметическое сложение в электрических расчетах.

Предположим, что в электрической цепи (рис. 8.7) измерены три напряжения на последовательно соединенных резисторах: . Требуется определить напряжение в цепи

Складывая на микрокалькуляторе, получаем

Такой ответ нельзя считать правильным.

Рис. 8.7. Электрическая цепь к примеру суммирования трех напряжений

При суммировании абсолютные погрешности приближенных чисел складываются, поэтому существует такое правило:

при сложении приближенных чисел в сумме оставляют столько десятичных знаков, сколько их имеется в слагаемом с наибольшей абсолютной погрешностью.

В нашем примере следует отбросить лишние знаки и считать, что общее напряжение в сети равно

При вычитании приближенных чисел абсолютные погрешности также складываются, но, как правило, относительная точность вычисления при этом значительно ухудшается. Это особенно опасно при вычитании близких чисел, когда результат получается значительно меньшим, чем каждое из них.

Пример. В электрической цепи (рис. 8.8) заданы токи —25,12 А и . Определить ток

По первому закону Кирхгофа ток равен разности токов:

Исходные токи заданы с абсолютной погрешностью, не превышающей единицы последнего разряда, т. е. , и относительной погрешностью

Если считать, что в разности абсолютные погрешности складываются, то получим

и огромную относительную погрешность

Наш результат весьма недостоверен.

Рис. 8.8. При определении тока в этой цепи приходится находить разность двух близких чисел

С практической точки зрения это означает, что правильнее было бы непосредственно измерить ток чем определять его методом вычисления разности токов и

Иногда в процессе вычислений удается преобразовать исходную формулу так, что можно избежать вычитания близких чисел.

Из приведенных примеров видно, что увлекаться выписыванием лишних знаков с индикатора микрокалькулятора не следует. Простые правила показывают, сколько знаков нужно оставить в конечном результате. Для промежуточных вычислений рекомендуется число верных знаков увеличивать на одну (в крайнем случае на две) цифры. В конечном ответе эту цифру отбрасывают.