2.5. МНОГОМЕРНЫЕ СИГНАЛЫ ПОВЕРХНОСТНО-СФЕРИЧЕСКОЙ УКЛАДКИ

Геометрические построения являются полезными и при рассмотрении сигналов в многомерных лространствах. Во многих случаях сигнальные точки отождествляются с вершинами некоторых геометрических фигур. При поверхностно-сферической укладке сигнальные точки располагаются на поверхности Л/мерной гиперсферы, центр которой совмещен с началом координат. Сигналы поверхностно-сферической укладки имеют одинаковые энергии. Для числа сигналов плотнейшей упаковки и коэффициента плотности поверхностной укладки имеется ряд оценок, основные сведения о которых приведены в монографии [60].

Противоположные сигналы. При в пространстве любой размерности оптимальными сигналами, обеспечивающими плотнейшую укладку сигнальных сфер, являются противоположные сигналы. Как следует из выражения (2.28), коэффициент помехоустойчивости в этом случае а удельная скорость (2.30)

При значениях объема ансамбля соизмеримых с известны только два типа поверхностных расположений, обеспечивающих плотнейшую укладку. Это ансамбли симплексных и биортогональных сигналов. Используются также ортогональные и двухсимплексные сигналы, которые не являются оптимальными и не обеспечивают плотнейшую укладку. Рассмотрим эти сигналы подробнее.

Биортогональные сигналы -мерного пространства могут быть получены, если сигнальные точки размещать в вершинах кроссполитопа (в двумерном пространстве это ювадрат, в трехмерном — правильный октаэдр и т. д.). Вершины кроссполитопа равномерно покрывают поверхность сигнальной сферы, обеспечивая плотнейшую укладку областей. Биортогональные сигналы можно получить на основе ортогонального ансамбля, если множество ортогональных векторов дополнить их инверсиями. При этом число сигналов в биортогональном ансамбле равно а координаты сигналов определяются следующей матрицей размерности

Расстояния между ближайшими сигналами, как и в ортогональном ансамбле, а расстояние между противоположными сигналами Оптимальность биортогонального ансамбля сигналов вытекает из того, что при минимальном пространственном угле между сигналами достигается наибольшее число сигнальных точек гарантируемое плотнейшей укладкой [60]. Параметры биортогональных сигналов:

Ортогональные сигналы. Если размерность пространства то, выбирая сигнальные точки <на линиях, совпадающих с ортами на расстояниях от начала координат, получаем ортогональную систему сигналов. Число сигналов в таком ансамбле Ортогональные сигналы образуют эквидистантную систему сигналов, пространственный угол между любой парой которых а расстояния между сигнальными точками

Ортогональные сигналы неоптнмальны, так как значительная часть пространства сигналов не используется для размещения сигнальных точек. Коэффициент помехоустойчивости и удельная скорость ансамбля определяются в этом случае выражениями:

Поскольку ортогональные сигналы эквидистантны, вероятности ошибочных переходов сигналов в другие сигнальные области одинаковы. В этом случае может быть использован произвольный манипуляционный кол, а вероятность ошибюи на бит определяется выражением

где вероятность ошибки в воспроизведении сипнала ортогонального ансамбля, определяемая выражением (2.24).

В биортогональных ансамблях один из сигналов противоположен данному сигналу, а остальные ортогональны. При выборе манипуляционного кода целесообразно противоположным сигналам приписывать противоположные кодовые комбинации. В этом случае

где и -вероятности ошибки при приеме противоположных и ортогональных сигналов из биортогонального ансамбля, Если объем ансамбля в выражении (2.35) множитель При этом вместо выражений (2.35) и (2.36) можно пользоваться приближенными формулами:

Симплексные сигналы. В пространстве размерности существует фигура — правильный симплекс, число вершин которой . В двумерном пространстве — это равносторонний треугольник, в трехмерном — тетраэдр и т. д. Симплексные сигналы изображаются точками, расположенными в вершинах симплекса, при этом начало координат находится в центре симметрии фигуры, Расстояния между сигнальными точками симплексного ансамбля одинаковы и равны

Выше отмечалось, что ортогональные сигналы также относятся к классу эквидистантных. Если размерность пространства V, то всегда существует ортогональных сигналов с расстояниями, равными Очевидно, что эти же сигнальные точки образуют вершины симплекса — геометрической фигуры в пространстве с измерениями. Перенос начала координат в геометрический центр этой фигуры приводит к сокращению длин векторов сигналов на величину Отсюда можно сделать вывод о величине выигрыша по энергии при равной помехоустойчивости, если вместо ортогонального ансамбля использовать симплексный ансамбль. Этот выигрыш равен

Симплексный ансамбль обеспечивает плотнейшую укладку, если пространственный угол между сигналами удовлетворяет условию [60]. Коэффициент помехоустойчивости и удельная скорость ансамбля симплексных сигналов определяются выражениями:

Нетрудно показать, что коэффициент корреляции между сигналами симплексного ансамбля

Двухсимплексные сигналы получают аналогично биортогональным путем добавления к каждому из симплексных сигналов его инверсии. При этом оптимальность ансамбля нарушается, но число сигналов возрастает вдвое. В пространстве размерности

можно построить двухсимплексный ансамбль сигналов с объемом При этом минимальные расстояния, как и в ансамбле симплексных сигналов, а максимальные Параметры ансамблей двухсимплексных сигналов:

Как и в случае ортогональных сигналов, манипуляционный код симплексного ансамбля может быть произвольным. Вычисление вероятности ошибки на двоичный символ производится по формуле, аналогичной (2.35).

Таким образом, при объеме ансамбля малом либо соизмеримом с размерностью пространства можно указать три типа ансамблей, обеспечивающих плотнейшую укладку областей сигналов. Это противоположные, симплексные и биортогональные сигналы. На графике представленном на рис. 2.9, они показаны наборами точек для различных значений Изображающие точки располагаются в области и в соответствии с введенной ранее классификацией биортогональные и симплексные сигналы следует отнести к категории «разнесенных»

Рис. 2.9, Диаграмма плотнейшей поверхностно-сферической укладки сигналов (штрихпунктирная — верхняя оценка): I — противоположных, II — симплексных, III — биортогональных

Рис. 2.10. Размещение областей сигналов на поверхности гиперсферы

Рассмотрим параметры плотнейшей укладки, когда число сигналов превышает размерность пространства При этом сигнальные точки будут расположены на относительно малых расстояниях («плотные» сигналы) и пространственные углы между ближайшими сигналами будут также малы. Точные выражения для параметров плоти ей их расположений здесь отсутствуют,

однако можно получить их верхние оценки «а основе следующих рассуждений.

Если пространственный угол между ближайшими векторами ансамбля достаточно мал, то участок поверхности гиперсферы измерений, и а котором расположено несколько областей сигналов, можно рассматривать как гиперплоскость — пространство размерности Фрагмент поверхности сферы показан на рис. 2.10. При этом задача поверхностно-сферической укладки в -мерном пространстве сводится к задаче объемной укладки областей сигналов в пространстве размерности Радиус сферы измерений а ее поверхность Расстояние между ближайшими сигнальными точками а радиус вписанных в области сигналов окружностей (рис. 2.10) Тогда в соответствии с формулой (2.26) число сигнальных точек, плотнейшим образом расположенных на поверхности -мерной сферы, определится выражением где объем каждой элементарной сферы, окружающей сигнальную точку при плотнейшей укладке; коэффициент заполнения объема в пространстве размерности Следовательно, число сигналов в ансамбле плотнейшей упаковки можно оценить выражением

Затем, изменяя можно получить оценки параметров ансамблей плотнейшей укладки . Значения коэффициента заполнения объема при плотнейшей упаковке для ряда значений известны и приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4 (см. скан)

Значения при взяты из монографии и описывают возможную плотнейшую укладку, а коэффициенты и приведены в работе [61] и характеризуют укладки, наиболее плотные из числа известных. Результаты расчетов оценок при что соответствует пространственным углам приведены на рис. 2.9 (сплошные линии). Погрешность оценок можно определить, сопоставляя результаты этих расчетов с точными значениями для некоторых известных ансамблей, относящихся к категории «ллотных».

При известны две правильные фигуры, вершины которых являются центрами наиболее плотно уложенных сфер. Это -яче-ечник с числом сигнальных точек и минимальным расстоянием Пространственный угол между ближайшими векторами Координаты сигналов такого ансамбля можно получить, приняв за основу вектор Произведя все возможные перестановки ненулевых координат и взяв эти координаты с положительными либо отрицательными знаками, получим следующий набор сигналов (показаны только знаки координат)

По известным и можно определить параметры ансамбля: (точка -ячеечник -мерного пространства, рис. 2.9). Другой правильной фигурой плотнейшей укладки является -ячеечник -мерного пространства, имеющий 120 вершин Параметры такого ансамбля: Он обозначен точкой В на рис. 2,9. Сопоставление точек с верхней границей при (сплошная линия) показывает, что оценка плотности укладки при является достаточно точной.

Таким образом, на рис. 2.9 показано изменение коэффициента помехоустойчивости от удельной скорости ансамблей плотнейшей поверхностно-сферической укладки при различных значениях размерности пространства сигналов При параметры плотнейшего поверхностно-сферического расположения (равномерное распределение сигнальных точек на окружности) известны при любых объемах ансамбля

Для для «разнесенных» ансамблей можно указать точные значения для противоположных, симплексных и биортогональных сигналов (ом. соответственно I, II и III на рис. 2.9), обеспечивающих плотнейшую укладку. Для плотных ансамблей также найдена верхняя оценка . В центральной части графика кривые показаны штрихпунктиром, так как точные данные о плотности укладки отсутствуют. Можно указать на оценку числа сигналов приведенную в работе Здесь неполная бета-функция, сведения о которой имеются, например, в справочнике [57]. Примеры расчетов для и 10 показаны а рис. 2.9, Анализ

показывает, что эта верхняя оценка является достаточно грубой. Вместе с тем она подтверждает форму кривых в области максимума, где возможно существование ансамблей поверхностной укладки с наибольшим коэффициентом помехоустойчивости

Рассмотрим основные способы построения ансамблей сигналов поверхностно-сферической укладки в многомерном пространстве. Наиболее общим является способ перестановочной модуляции, впервые предложенный в работе [65] и в дальнейшем использованный рядом авторов [64, 66]. Перестановочная модуляция позволяет получить широкий класс сигналов, близких к оптимальным и в ряде случаев совпадающих с сигналами плотнейшей укладки.

Каждый из сигналов ансамбля перестановочной модуляции содержит координат, К из которых равны а остальные координат равны 0. Сигналы ансамбля получаются путем перестановки ненулевых координат, взятых с произвольными знаками по всем возможным позициям от 1 до Пример такого ансамбля был рассмотрен выше [матрица (2.41)]; здесь Общее число сигналов в ансамбле Параметр К может изменяться от 1 до Будем обозначать такие ансамбли, как При заданном числе ненулевых координат К все сигналы ансамбля имеют одинаковые энергии Если выполняется условие 1, ближайшими сигналами ансамбля будут такие, у которых координат совпадают, а соответствующие произведения других координат равны 0, например первая и пятая строки ансамбля (2.41). Тогда коэффициент корреляции согласно формуле (2.15) будет минимальный угол между сигналами Если то ближайшие сигналы различаются только знаками одной из координат и в этом случае . В зависимости от соотношения можно получить различные подклассы сигналов.

Ансамбли Объем ансамбля Если ненулевые координаты сигналов не совпадают, то такие сигналы будут ортогональны. При совпадении позиций ненулевых координат их знаки в различных сигналах будут противоположны. Такие сигналы образуют биортогональный ансамбль, пример которого рассмотрен выше (2.33). Таким образом, ансамбли перестановочной модуляции вида содержат биортогональные сигналы плотнейшей укладки.

Ансамбли . В этом случае нулевые координаты сигнала отсутствуют и сигналы отличаются только знаками координат. Последовательности координат образуют полный двоичный код с объемом . В -мерном пространстве ему соответствует -мерный куб, поэтому такой код назван кубичным [60]. Минимальное расстояние между сигналами определяется различием знаков одной из координат и равно Следовательно,

параметры ансамблей будут: при любом значении

Ансамбли Поскольку при минимальный пространственный угол между сигналами расстояние определится выражением Параметры ансамблей можно вычислить по формулам:

На рис. 2.11 показаны зависимости для сигналов перестановочной модуляции при различных Здесь же приведены границы для сигналов плотнейшей упаковки (штриховые линии).

Рис. 2.11. Характеристики сигналов поверхностно - сферической укладки: границы плотнейшей ковки (штриховая линия); -ор-тошналыше сигналы (оплошная с точками) сигналы перестановочной модуляции (сплошная с крестиками)

В четырехмерном пространстве из четырех возможных вариантов ансамблей два являются плотнейшими: (4,1) — биортогональный ансамбль и рассмотренный выше -ячеечник (2.41). При других перестановочные ансамбли не являются плотнейшими, но, как видно из данных рис. 2.11, весьма близки к границам ( — ансамбли перестановочной модуляции, — граница плотнейшей упаковки).

Другой достаточно широкий класс сигналов представлен L-opтогональными сигналами [64]. Разобьем V координат ансамбля четное) на групп по две координаты в каждой. В каждом из сигналов координаты только одной группы отличны от нуля, остальные координат — нулевые. Иными словами, исходное -мерное пространство оказалось разбито на двумерных подпространств, в каждом из которых расположены сигналы плотнейшей поверхностно-сферической укладки.

Ансамбли такого типа удобно представлять в виде набора точек в двумерных подпространствах, как показано на рис. 2.12. Здесь сигналы четырехмерного пространства изображены точками в двух плоскостях (подпространствах) и цифры около

точек обозначают номера сигналов. Таким образом, у сигналов координаты в подпространстве являются нулевыми, сигналов нулевыми будут координаты в подпространстве Если в каждом из двумерных подпространств расположить на окружности точек, то общее число сигналов в ансамбле будет Сигналы с ненулевыми координатами из разных подпространств ортогональны и минимальные расстояния между ними равны Сигналы, выбранные из одного и того же пространства находятся на минимальном расстоянии Таким образом, минимальное расстояние -ортогонального ансамбля:

Исходя из этого, параметры таких ансамблей можно определить следующим образом:

Зависимости для -ортогональных ансамблей показаны на рис. 2.11 сплошными линиями. При эти ансамбли имеют свойства биортогональных и рис. 2.12 является наглядным представлением биортогонального ансамбля с и При и произвольном будут ансамбли плотнейтей укладки в двумерном пространстве. Этими вариантами исчерпывается перечень оптимальных подклассов -ортогональных ансамблей. При можно получить ансамбли биортогональных сигналов, которые являются ансамблями плотней шей укладки в пространстве размерности (объем ансамбля M = N). Их нельзя отнести к оптимальным, так как рассматривается -мерное пространство. Наконец, при и получаем ансамбли с ортогональными сигналами Из кривых, приведенных на рис. 2.11, следует, что при характеристики -ортогональных сигналов резко ухудшаются и с ростом они все более удаляются от границ плотнейшей укладки.

Рис. -ортогональпие сигналы четырехмерного пространства

Ансамбли -ортогональных сигналов могут быть реализованы при одновременной частотной и фазовой модуляции (ЧФМ) гармонического колебания. Два сигнала будут ортогональны на интервале

Т, если разнос частот Сигнал где номер позиции частоты номер позиций фазы а номер сигнала При получаем набор из ортогональных ЧМ сигналов. Если набор сигналов ЧФМ будет иметь свойства биортогонального ансамбля. Из приведенного выше анализа свойств -ортогональных сигналов вытекает, что при числе фаз ЧФМ сигналы характеризуются низкими значениями коэффициента помехоустойчивости

Геометрический подход, при котором вершины фигур в -мер-ном пространстве отождеставляются с сигнальными точками, является не единственным при поиске ансамблей сигналов. В работе [67] развита алгебраическая теория кватернионов — символов, соответствующих сигнальным векторам в четырехмерном пространстве. Используя общую теорию симметричных групп и конечных групп вращений, удается получить ряд классов сигналов в четырехмерном эвклидовом пространстве. Однако большинство из них совпадает с рассмотренными выше сигналами плотнейшей 1 укладки, перестановочной модуляции и др. Перечислим основные сигналы (коды — по терминологии [67]). Размерность пространства

1. Кристаллографические регулярные коды: (симплекс), (биортогональный ансамбль), (кубичный полный код) [ансамбль плотнейшей укладки, -ячеечник (2.41)].

2. Коды, образующие двойную призму с числом точек Такие конфигурации можно получить, если в каждом из двумерных подпространств расположить по сигнальных точек равномерно на окружности и координаты сигналов составлять из произвольных комбинации этих точек. Пример такого ансамбля показан на рис. При число сигналов и координаты сигналов определяются кубичным кодом.

3. Групповые коды с где

Рис. 2.13. Примеры сигналое четырехмерного пространства

Они, в свою очередь, могут быть разделены на пять подклассов, генерируемых соответствующими группами.

Циклические группы определяют ансамбли сигналов располагающиеся равномерно по окружности в одном из двумерных подпространств. Дициклнческие группы порождают подкласс сигналов с Минимальное расстояние в этом случае Представлены также группы, порождающие ансамбли с и 120. Два из них и 120) обеспечивают плотнейшую укладку (точки на рис. 2.9). Ансамбль с занимает промежуточное положение между ними (точка С на этом же рисунке). Распределение сигнальных точек в двумерных подпространствах этого ансамбля показано на рис. Радиусы окружностей Минимальное расстояние следовательно, и, очевидно, этот ансамбль не обеспечивает плотнейшей укладки, хотя и весьма близок к границе.

4. Коды, генерируемые конечными унитарными группами, образуют обширный класс, имеющий, по существу, ту же структуру, что и дициклнческие коды.

Другим примером использования алгебраических методов являются циклические коды, рассмотренные в работе [68]. Однако существенных преимуществ по показателям по сравнению с известными эти коды не имеют. Коды обозначаются как где число кодовых комбинаций (число сигналов); размерность пространства (длина кодовой комбинации). Например, параметры кода (28,9) близки к параметрам биортогонального ансамбля с Преимущества циклических кодов, обусловленные использованием их циклических свойств при обработке, обсуждаются в работе