4.5. КОДЫ, ПРОЗРАЧНЫЕ К НЕОДНОЗНАЧНОСТИ ФАЗЫ В КАНАЛЕ

Свойства прозрачности рассмотрим на примере сверточного кодера. На рис. 4.10 показано включение кодека при внешнем относительном кодировании.

Рис. 4.10. К выводу условий прозрачности кода

Скорость кода где число -ичных символов и, поступающих одновременно на входов кодера; число -ичных символов а, подаваемых одновременно с его выходов в канал. Матрица порождающих многочленов тонкого кодера (см. § 3.1) имеет вид

Здесь порождающий многочлен вида (3.7), определяющий связи регистра кодера с сумматором; число элементов задержки в регистре кодера на к входах кодера действуют последовательности символов задаваемые матрицей-строкой:

где символ транспонирования. Набор из последовательностей на выходе кодера определяется равенством

Согласно выражению (4.2) моделью неоднозначности в канале является последовательность идентичных символов . В рассматриваемом случае неоднозначность, воздействующая на входов кодера, может быть представлена в виде матрицы-строки:

где поскольку воздействие неоднозначности на все последовательности символов в канале считается одинаковым. При заданной порождающей матрице кодера однозначное декодирование обеспечивается соответствующим выбором передаточной функции декодера Если неоднозначность то и передаточную функцию декодера можно определить из равенства

Поскольку матрица-строка выходных последовательностей, содержащая элементов, передаточная функция матрица размером Подставляя (4.26) в выражение (4.28), получаем

Процессы кодирования и декодирования сопровождаются задержкой символов, поэтому под однозначным декодированием подразумевается выполнение равенства

Здесь диагональная матрица задержки, содержащая одинаковые элементы величина задержки. Из сравнения равенств (4.29) и (4.30) получаем условие однозначного декодирования:

Пусть матрица, обратная матрице т. е.

Умножая левую и правую части равенства на получаем обратное равенство

Подставляя последовательно (4.28) в (4.32) и далее в формулу (4.26), получаем равенство

откуда вытекает другая формулировка условия однозначного декодирования:

Необходимо отметить, что символы последовательностей а также матриц выбираются из кольца классов вычетов целых чисел по модулю Как следует из рис, 4.10, сверточный кодек и исходный канал с неоднозначностью образуют новый канал, последовательности символов неоднозначности на выходе которого имеют вид

При внешнем относительном кодировании такого модифицированного канала влияние неоднозначности на выходные символы будет устранено, если группа символов неоднозначности будет изоморфна группе символов неоднозначности Кроме того, если в выражении (4.27) все символы то и в выражении

все символы причем возможно

В этом случае декодер с передаточной функцией оказывается «прозрачным» для символов неоднозначности иными словами, не искажает их характер. Это является необходимым условием прозрачности.

Сформулируем это условие в аналитическом виде. Умножив левую и правую части выражения (4.34) на получим равенство

которое с учетом условия однозначного декодирования (4.33) может быть представлено так:

Это выражение является необходимым условием прозрачности сверточного кода с порождающей матрицей

Достаточным условием прозрачности является выполнение набора равенств

где взаимно простое с а суммирование выполняется по модулю Для доказательства этого рассмотрим

любой элемент матрицы строки, равной произведению матриц в левой части выражения (4.36):

Если выполняется условно (4.37), то из выражения (4.38) следует, что

для любых значений индекса что гарантирует выполнение в целом матричного условия прозрачности (4.36).

При из выражения (4.37) получаем известное [33] условие прозрачности двоичного сверточного кода в канале с двоичной ФМ и неоднозначностью фазы второго порядка:

Двоичный код будет прозрачным, если сумма элементов каждого порождающего многочлена (по модулю 2) будет равна 1. Не все хорошие двоичные коды удовлетворяют этому условию. В табл. 4.2 приведены характеристики двоичных оптимальных кодов, обеспечивающих по данным табл. 3.2 наибольшее свободное расстояние и наилучший спектр весов Здесь же показаны лучшие по этим показателям прозрачные коды Видно, что только при и 6 оптимальные коды удовлетворяют условию прозрачности.

Таблица 4.2 (см. скан)

Рассмотрим четверичный сверточный код [92] с параметрами и порождающей матрицей

Элементы порождающих многочленов удовлетворяют условию прозрачности (4.37).

Сокращенная запись порождающей матрицы в четверичном представлении согласно принятым в § 3.1 обозначениям Схема кодера в четверичном представлении показана на рис, 4.11, а. Поскольку число фаз является целой степенью 2» возможен двоичный эквивалент кодера, показанный на рис. 4.11, б. В этом случае символы на входе и выходе кодера двоичные. Операции сложения и умножения в кольце выполняются здесь с помощью сумматоров по модулю 2. Диаграмма состояний кодера, в которой ветви обозначены в двоичном коде Грэя, показана на рис. 4.12. Она содержит петли у каждого из возможных состояний, что является одним из признаков прозрачности кода. По диаграмме состояний нетрудно определить, что свободное расстояние этого кода в двоичном представлении а число путей с таким весом Результаты исследования помехоустойчивости декодирования прозрачного кода приведены в [92].

Рис. 4.11, Кодер прозрачного кода при : а — четверичное представление; б — дьончмие представление

Рис. 4.12. Диаграмма состояний кодера прозрачного кода

В табл. 4.2 приведены характеристики лучших прозрачных кодов со скоростью при Дополнительные требования к кодовым генераторам, вытекающие из условия прозрачности накладывают определенные ограничения на характеристики кодов. Поэтому, как видно табл. 4.2? в ряде случаев возможно снижение свободного расстояния прозрачных кодов по сравнению с двоичными кодами с такой же длиной кодового ограничения.

Для блоковых кодов условия прозрачности аналогичны полученным выше. В частности, условие прозрачности для линейных двоичных блоков кодов обсуждалось в работе [97]. Для того чтобы инвертированные в канале кодовые слова декодировались как прямые, достаточно, чтобы строки проверочной матрицы имели четный вес. У циклического кода вес проверочного полинома также должен быть четным. Недвоичные циклические коды, прозрачные для неоднозначности порядка, рассмотрены в [98], В

каждом из рассмотренных выше примеров прозрачных кодов набор кодовых слов (или последовательностей), порожденных всеми возможными вариантами неоднозначности в канале, отождествляется при декодировании с информационным словом (или последовательностью), соответствующей передаче без неоднозначности. Этот припцип может быть использован и при построении нелинейных прозрачных кодов, К примеру, биортогональные последовательности четверичных символов из кольца рассмотренные § 2.5, допускают построение кодов, прозрачных для неоднозначности четвертого порядка [99, 100].