Приложение. ВЕРОЯТНОСТЬ НАХОЖДЕНИЯ ВЕКТОРА ШУМА В ЗАДАННОЙ ОБЛАСТИ

N-мерная плотность вероятности совместного распределения проекций вектора нормального флуктуационного шума на координатные оси имеет вид

где дисперсия ортогональной составляющей шума.

Для вычисления вероятности пребывания конца вектора шума в заданной области перейдем к сферическим координатам Вероятность попадания конца вектора в элементарный объем определится следующим выражением:

где

Вероятность пребывания конца вектора внутри кольца -мерном пространстве), образованного вращением элемента площади вокруг горизонтальной оси (рис. П.1,а) определится интегрированием по переменным

Здесь кратный интеграл

гамма-функция аргумента у.

Рис. П.1. Области интегрирования

Вероятность нахождения конца вектора шума вне конуса с углом раскрыва и расстоянием вершины от начала координат (рис. определим интегрированием вероятности по области ограниченной горизонтальной осью и прямой Полярные координаты точек, расположенных на прямой удовлетворяют условию

Таким образом,

Переходя к переменной получаем

Функция может быть сведена к -распределению, сведения о котором имеются в [57],

При учитывая, что выражения можно получить формулу для вероятности пребывания вектора шума за пределами двумерного конуса (сектора) с углом

Из рис. следует, что выражение определяет вероятность нахождения вектора шума в области, составленной из подобластей Граница раздела между перпендикулярна к Интеграл можно свести к табулированным функциям. Перейдем к новым независимым переменным

с пределами изменений Такие пределы, впрочем, не следуют из условий замены поскольку Однако выражение как и более общая формула получены интегрированием элементарных вероятностей пребывания вектора шума в пределах кольца с поперечным сечением На плоскости такому кольцу соответствуют элементарные площадки расположенные симметрично относительно горизонтальной оси вращения. Это и определяет указанные выше пределы изменения переменных

Определим вероятность пребывания вектора шума в области отмеченной на рис. П. 1,6. Границами области является ось и, а также отрезок прямой и горизонтальная прямая, уравнение которой в координатах имеет вид: Выполнив подстановку в подынтегральном выражении с учетом границ области получаем

Здесь функция Оуэна, графики которой приведены в [58].

Вероятность пребывания вектора шума в области равна вероятности одновременного выполнения неравенства и где распределенные по нормальному закону проекции на оргтогональные оси и . Следовательно,

Формулы и позволяют получить окончательное выражение вероятности пребывания случайного двумерного вектора в области вне конуса При этом, как следует из рис. П. 1, б, область состоит из пар симметрично расположенных областей а вероятность будет

Полученное выражение позволяет вычислить вероятность нахождения двумерного вектора в пределах сектора, образующие которого находятся под углами к горизонтальной оси (область на рис.

Кратчайшие расстояния образующих от начала координат:

Таким образом,

Определим вероятность нахождения вектора за пределами конуса в -мерном пространстве, вершина которого совпадает с началом координат. Полагая в выражении получаем

Учитывая, что

получаем

Вероятность нахождения вектора шума вне -мерной сферы радиуса центр которой совпадает с началом координат можно определить, интегрируя элементарную вероятость при изменении переменных в пределах Производя в выражении замену получаем

Здесь

Следовательно,

Определим вероятность нахождения двумерного вектора внутри окружности радиуса центр которой находится на расстоянии от начала координат. Элементарная вероятность при имеет вид

Переходя к переменным получаем

После переноса начала координат в точку

Произведя замену искомую вероятность определим интегрированием в полярных координатах с пределами

Учитывая, что получаем окончательно

Эта вероятность может быть выражена через -функцию:

таблицы которой имеются в справочнике [54].

Рассмотрим для примера ансамбль с числом сигналов построенный на основе треугольной сети (ансамбль II на рис. 2.3). Расстояния между соседними сигналами такого ансамбля одинаковы и равны На рис. П. 1.1,г жирными линиями показаны границы областей сигналов. Типичными являются конфигурации областей Области второго и четвертого сигналов совпадают с ними по форме. Средняя вероятность ошибки имеет вид где вероятности ошибок при передаче сигналов с номерами 1, 2, 3 и 4.

Вероятность ошибки при передаче третьего сигнала равна вероятности того, что вектор шума с двумерным нормальным распределением и началом координат в точке 3 окажется за пределами области Область ошибки вне состоит из четырех областей: заштрихованных областей а также симметрично расположенных и подобных им областей ниже горизонтальной осн. Вероятность пребывания вектора шума в области согласно формуле определяется функцией Оуэна с параметрами Вероятность пребывания в области будет Таким образом,

Вероятность ошибки при передаче первого сигнала определяется суммой шести вероятностей, четыре из которых определяются, как и две — как

Средняя вероятность ошибки с учетом того, что для данного ансамбля средняя энергия определяется выражением

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)