2.3. АНСАМБЛИ ДВУМЕРНЫХ СИГНАЛОВ

В общем случае помехоустойчивость зависит как от вида передаваемых сигналов, так и от способа приема. При оптимальном приеме реализуется потенциальная помехоустойчивость Поэтому дальнейшая оптимизация СПИ должна производиться выбором наилучшего ансамбля сигналов.

При одном и том же способе приема различные ансамбли обеспечивают разную помехоустойчивость. Это объясняется особенностями расположения границ областей, окружающих каждый

сигнал. Вероятность правильного воспроизведения какого-либо сигнала можно увеличить, если раздвинуть границы области этого сигнала. При этом уменьшаются объемы областей соседних сигналов, что увеличивает вероятность ошибки воспроизведения этих сигналов. Минимум средней вероятности ошибки достигается при размещении границ на равных расстояниях от соседних сигнальных точек. Оптимизация ансамбля сводится к нахождению такого расположения сигнальных точек, при котором области сигналов имеют наибольшую величину, наиболее близки одна к другой по размерам и приближаются по форме к окружностям [60]. При этом задача отыскания оптимального ансамбля сигналов сводится к известной в многомерной геометрии задаче плотнейшей укладки одинаковых шаров в заданном объеме. Такое расположение обеспечивает одинаковую вероятность ошибки приема любого сигнала (области сигналов одинаковы) и минимальную среднюю энергию сигналов (области наиболее плотно упакованы).

Рис. 2.2. Схематичное изображение укладки сигнальных сфер в одномерном к двумерном пространствах

Известные плотнейшие укладки реализуются, как правило, при расположении сигнальных точек в узлах так называемой пространственной сети (или решетки), имеющей регулярную структуру. В одномерном пространстве задача плотнейшей укладки решается наиболее просто. Здесь плотнейшим является равномерное размещение сигнальных точек на прямой, как показано на рис. 2.2, а. Показателем плотности укладки является коэффициент заполнения пространства одинаковыми шарами, равный отношению объема этих шаров к объему пространства V, занимаемого ими [60]:

Здесь объем одного -мерного шара. На рис. 2.2,а радиус плотно упакованных сфер (в одномерном пространстве — отрезков прямых) равен где расстояние между ближайшими сигналами. Границы областей сигналов, отмеченные вертикальными линиями, лежат на поверхности сфер, поэтому коэффициент заполнения в этом случае При коэффициент Для и некоторых других значений известны точные величины максимального коэффициента заполнения [60, 61].

Если число сигналов в ансамбле, построенном на основе сети плотнейшей укладки, достаточно велико, то такое размещение сигнальных точек может быть достаточно близким к оптимальному. Области сигналов в этом случае одинаковы, за исключением крайних областей.

При большом числе сигналов в ансамбле вероятность ошибки в основном зависит от расстояния между ближайшими сигнальными точками. Поэтому сравнение ансамблей удобно производить по коэффициенту помехоустойчивости

Здесь соразмеряется расстояние между сигналами с энергетическими затратами на передачу одного двоичного символа (бита);

В системах с ограниченной средней мощностью (в одноканальных системах с линейным каналом и ограниченным энергоресурсом передатчика, в многоканальных системах с разделением каналов по частоте и др.) в выражении (2.27) используется средняя энергия В системах с ограниченной пиковой мощностью помехоустойчивость оценивают по отношению к максимальной энергии сигнала из ансамбля

При минимальном расстоянии между сигналами показанными на рис. 2.2, а, и равновероятной передаче сигналов средняя энергия четное. В этом случае коэффициент помехоустойчивости по средней энергии

Максимальная энергия сигнала, наиболее удаленного от начала координат и коэффициент помехоустойчивости по максимальной энергии

При двоичной передаче и . С ростом числа сигналов в ансамбле значения коэффициентов убывают. Однако при этом возрастает удельная скорость

Удельная скорость является характеристикой ансамбля сигналов. Она определяет производительность источника равновероятных сигналов, выраженную в битах на один отсчет.

В двумерном случае рассматривается плотнейшая укладка равных окружностей на плоскости, при этом центры окружностей соответствуют сигнальным точкам. Пример такой укладки показан на рис. 2.2,б. Сигнальные точки расположены в вершинах треугольников, образующих регулярную треугольную сеть. В нижней части рис. 2.2,б показано расположение областей правильного приема сигналов плотпейшей укладки. Области имеют вид правильных, плотно упакованных шестиугольников.

Для построения ансамблей с конечным числом сигналов можно использовать часть треугольной сети. Однако только при оптимальность расположения сигнальных точек сохраняется» так как в этом случае области всех сигналов одинаковы. Такая система сигналов образует симплекс двумерного пространства (симплекс-многогранник, все расстояния между вершинами которого одинаковы). В остальных случаях области периферийных сигналов отличаются от областей сигналов внутри ансамбля и оптимизация должна производиться путем перемещения сигнальных точек в первую очередь на периферии ансамбля.

Симметричные ансамбли на основе треугольной сети плохо приспособлены для реализации, так как содержат число сигналов не равное целой степени 2. Если же путем удаления некоторой части точек из симметричной конфигурации довести объем ансамбля до где целое, то симметрия расположения сигнальных точек нарушается. Поэтому оптимизация расположения сигнальных точек при производится путем сравнения различных конфигураций и отбора наилучших по показателям помехоустойчивости и эффективности.

На рис. 2.3 ... 2.5 изображены основные конфигурации ансамблей с Линии» соединяющие сигнальные точки, позволяют установить способ построения ансамблей. Все ансамбли можно разделить на две группы. К первой относятся сигналы поверхностно-сферической укладки, когда сигнальные точки расположены на поверхности -мерной сферы. В рассматриваемом случае такой сферой является окружность (ансамбли I, IV, XII). Сигнальные точки расположены на одинаковом расстоянии от начала координат, т. е. все сигналы ансамбля имеют одинаковые энергии. Очевидно, что расположение сигнальных точек на поверхности сферы с ростом объема ансамбля все более отличается от плотнейшего.

Рис. 2.3. Ансамбли двумерных сигналов при и 8

Большинство ансамблей, представленных на рис. 2.3 ...2.5, относится ко второй группе и характеризуется объемно-сферической укладкой сигнальных точек. Это и позволяет в ряде случаев получить плотность укладки, близкую к максимальной. Рассмотрим группы ансамблей сигналов.

Рис. 2.4, Ансамбли двумерных сигналов при

Ансамбль I является простейшим, полученным при расположении сигнальных точек в узлах квадратной сети. Вместе с тем — это ансамбль поверхностно-сферической укладки. Сигналы имеют одинаковые энергии и находятся на одинаковом расстоянии от начала координат. При выборе в качестве базисных функций сигналы этого ансамбля будут:

Видно, что сигналы отличаются только начальными фазами. Поэтому ансамбль I часто отождествляют с набором сигналов с фазовой модуляцией и числом позиций фазы Они

относятся к классу биортогональных, так как сигналы ортогональны, а сигналы противоположны.

Ансамбль III состоит из трех сигналов, равномерно распределенных на окружности, и четвертого сигнала, расположенного в начале координат. Они могут быть представлены так:

Эти сигналы с амплитудно-фазовой модуляцией (АФМ). Они относятся к классу сигналов с объемной укладкой. Такой ансамбль обозначается как круговой (1,3) по числу сигналов, находящихся на окружностях возрастающего радиуса.

Рис. 2.5. Ансамбли двумерных сигналов при и 128

М = 8. Ансамбли V и VI построены на основе квадратной сети с различным расположением сигнальных точек. Симметричная конфигурация V не содержит сигнала в начале координат. Сигналы ансамбля VI расположены более плотно, но несимметрично.

Конфигурация VII (так же как и XVII) содержит сигнальные точки только на лучах, проходящих через начало координат.

Такие конфигурации отождествляются с сигналами, полученными путем независимого изменения амплитуды и фазы гармонического переносчика. В частности, в ансамбле VII можно указать две позиции амплитуды и четыре позиции фазы. Ансамбль X является примером расположения сигнальных точек в узлах треугольной сети. Путем иного размещения сигнальных точек можно получить ансамбль XI, характеризующийся плотным расположением семи сигналов с несимметричным восьмым сигналом. Здесь же показано оптимальное расположение начала координат, минимизирующее среднюю энергию ансамбля.

М = 16. Ансамбли XIII—XVII представляют собой различные варианты круговых расположений сигнальных точек с центральным сигналом и без него. Геометрические размеры конфигурации задаются отношением радиусов окружностей по мере их возрастания. Так, в ансамблях . В ансамбле а в ансамбле Симметричная конфигурация XVIII с регулярным расположением сигнальных точек в узлах квадратной сети представляет особый интерес, так как области сигналов имеют прямоугольную форму. Ансамбли XIX—XXIII получены различными способами размещения сигнальных точек в узлах треугольной сети. Ансамбли XXI — XXIII являются производными от исходного ансамбля плотнейшей укладки.

М = 32. На рис. 2.5 представлены круговые конфигурации ансамблей. Ансамбли XXIV и XXV построены на основе треугольной и квадратной сетей. Конфигурация XXX получена также на основе треугольной сети, по сигнальные точки расположены в вершинах правильных, плотно упакованных шестиугольников.

М = 64, М=128. Ансамбли получены, как следует из рис. 2.5, на основе квадратной либо треугольной сети, а также круговых расположений. Параметры ансамблей круговых расположений следующие: .

Оптимальным выбором расположения сигнальных точек в пространстве сигналов достигается минимум средней вероятности ошибки в воспроизведении сигнала . В ряде случаев необходимо обеспечить минимум вероятности ошибки на двоичный символ При этом необходимо оптимизировать манипуляционный код.

В двоичном ансамбле возможно два равноправных правила манипуляционного кодирования. Сигналу может быть приписан символ 0, а сигналу символ 1, либо наоборот. При число возможных вариантов кода возрастает и лишь некоторые из них обеспечивают минимум вероятности на бит Поскольку ошибки чаще происходят за счет переходов в области соседних сигналов, целесообразным является следующее правило манипуляционного кодирования: двоичные последовательности сообщений, приписываемые соседним сигналам, должны отличаться

наименьшим числом символов. Этому условию удовлетворяет код Грэя, пример которого для четырехпозиционного ансамбля одномерных сигналов показан на рис. 2.6,б. Здесь переход из любой сигнальной точки в соседнюю область приводит к ошибке в одном двоичном символе. Поэтому и целесообразно определять коэффициент помехоустойчивости (2.27) как отношение расстояния между сигналами к расстоянию между сигнальными точками в эквивалентной двоичной системе

Рис. 2.6. Манил уляционнче коды различных ансамблей

Манипуляционные коды для круговых расположений сигнальных точек на плоскости (двумерных сигналов с детально исследованы в работе [63]. При существует шесть лучших вариантов манипуляционных кодов, эквивалентных друг другу Один из них (код Грэя) показан на рис. 2.6, а.

Используя простое правило манипуляционного кодирования одномерных ансамблей, нетрудно получить манипуляционный код для двумерного ансамбля сигналов, построенного на основе квадратной сети (рис. 2.6, е). Оптимальный манипуляционный код получается, если координаты сигнальных точек по горизонтали и по вертикали кодировать одномерным кодом Грэя, а затем объединить двоичные символы в четырехзначные кодовые комбинации Из рис. 2.6, в следует, что расстояние Хэмминга от любой сигнальной точки до соседних в этом случае всегда минимально и равно

единице. Таким образом, если учитывать только ошибки за счет переходов в области соседних сигналов, вероятность ошибки на бит в рассмотренных выше примерах совпадает с вероятностью ошибки на сигнал Во многих случаях составить хорошие манипуляционные коды не удается. На рис. показан пример лучшего кода для ансамбля XXIII. Здесь в ряде случаев соседние кодовые комбинации отличаются и двумя символами.