7.3. МЕТОД СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВ ПРИЕМА С ОБУЧЕНИЕМ ПО СП

Квазидетерминированная модель сигнала и СП. Статистическая формулировка задачи синтеза оптимальных алгоритмов приема состоит в определении наилучшего правила преобразования наблюдаемых данных для принятия решения о переданном сообщении. Излагаемый здесь метод синтеза оптимальных решающих правил основывается на идеях адаптивного (эмпирического) байесовского подхода применительно к задачам различения сигналов в каналах с сосредоточенными и флуктуационными помехами в рамках теории статистических решении. При этом и метод оценки качества выбора решения в синтезированных алгоритмах приема естественно вытекает из теории статистических решений.

Сущность метода синтеза адаптивных алгоритмов заключается в формировании отношения правдоподобия с использованием апостериорного распределения вероятностей параметров сигнала полученного с помощью обучающей выборки.

Определим структуру адаптивного приемника с обучением но СП. Для этого представим принятую смесь сигнала с помехами на входе приемника (7.3) в виде

Здесь функции, определяющие переданный сигнал и функции, сопряженные им по Гильберту; ортогональные составляющие коэффициента передачи для сигнала и число СП. В дальнейшем с целью упрощения будем полагать, что воздействующие на сигнал СП имеют неперекрывающиеся спектры, т. е. Для любых справедливы соотношения:

В соответствии с критерием Котельникова (идеального наблюдателя) для априорно равновероятных передаваемых сигналов оптимальное правило для принятия решения о приеме варианта сигнала определяется неравенством

в котором отношение правдоподобия для сигнала относительно Алгоритм приема -с обучением по СП определяется отношением правдоподобия, в котором априорное распределение неизвестных параметров СП заменено апостериорным, сформированным с помощью обучающей выборки:

Здесь в соответствии с (7.18) и (7.43)

— функнионал отношения правдоподобия принятой реализации; — плотность распределения параметров сигнала; апостериорная плотность распределения параметров область интегрирования, определяемая пределами изменения сигнала и СП.

Рассмотрим случай медленных изменений параметров СП, когда допустимо считать их неизменными на интервале длительности элемента сигнала и меняющимися скачком на границе элемента сигнала. Изменения параметров на соседних элементах сигнала будем полагать марковскими.

Обучение по СП ведется на интервале времени с помощью обучающей выборки

где

после чего производится прием сигналов.

Апостериорная ттлотность распределения параметров определяется рекуррентным соотношением [12, гл. 6]

Для практических целей в условиях высокой точности измерения параметров достаточно ограничиться гауссовскшд приближением в (7.49), тогда апостериорную плотность можно представить в виде

Параметры апостериорного распределения (7.50) определяются формулами (6.3.8) ... (6.3.10) из [12]:

Начальные условия:

Здесь

— максимально «правдоподобные оценки параметров на этапе наблюдения;

— дисперсия этих оценок; параметры (дисперсия и коэффициент корреляции) переходной плотности вероятностей и энергия базисной функции помехи.

Из (7.51), (7.52) следуют частные случаи.

1. В каналах с неизменными параметрами

2. В каналах с относительно быстрыми изменениями параметров :

где среднестатнчсокое значение отношения энергии 1-й СП к спектральной плотности мощности шума.

Подставляя апостериорное распределение (7.50) в (7.46) и производя усреднение, можно получить алгоритмы приема с обучением по СП при различных предположениях о статистических характеристиках параметров сигнала. В частности, алгоритм когерентного приема определится неравенством

Здесь

— сценка совокупности

— коэффициент, который совместно с энергией принятого сигнала определяет пороговый уровень

— коэффициент взаимной корреляции сигнала с сосредоточенной помехой. Этот коэффициент характеризует различие структур используемых сигналов и СП в частотно-временной области [12, § 2.3].

В [7.55) введены обозначения:

Особенностью алгоритма (7.54) является процедура вычитания из принятого сигнала оценки совокупности СП (7.55), сформирован ной с помощью обучающей выборки, с последующей корреляционной обработкой и сравнением результатов обработки для каждой позиции сигнала со своим порогом. Формирование оценки совокупности СП в общем случае происходит как на интервалах времени, предшествующих интервалу решения, так и непосредственно на интервале решения. В частном случае каналов с неизменными параметрами СП формирование оценки может производиться при помощи классифицированной обучающей выборки на интервале, предшествующем интервалу решения. Из (7.55) в соответствии с (7.51) и (7.52) при как частный случай следует оценка

характерная для каналов с неизменными параметрами СП. При этом принципиально избыточность по сигналу не нужна. По мере увеличения размера обучающей выборки параметры СП определяются все точнее и пределе происходит полное подавление СП. В этом смысле алгоритм (7.54) можно назвать асимптотически оптимальным.

В каналах с относительно быстрыми изменениями параметров формирование оценок происходит независимо на каждом этапе наблюдения, и поэтому целесообразно использовать оценки, сформированные только на интервале решения в виде

При этом сигнал должен иметь избыточность по спектру, так как возможна режекция составляющих сигнала, совпадающих по частоте с СП,

Заметим, что в приемнике, построенном на принципе замены неизвестных параметров СП их оценками, форма опенки совокупности СП совпадает с (7.59) либо с (7.60), в зависимости от используемой обучающей выборки (классифицированной либо неклассифицированной). Оценка в форме (7.55) является обобщением обоих случаев. Вводя обозначения

алгоритм (7.54) удобно представить в комплексной форме:

Здесь знак означает комплексно-сопряженную величину.

При использовании оценок вида (7.60) величину можно записать следующим образом:

где выражение в квадратных скобках можно рассматривать как комплексную импульсную характеристику единого адаптивного согласованного фильтра. В (7.64) .

Если сигналы известны с точностью до фазы то отношение правдоподобия надо усреднить по всем Для практически

интересного случая равномерного распределения фазы на интервале алгоритм некогерентного приема имеет вид [4]

Здесь модифицированная функция Бесселя нулевого порядка мнимого аргумента; определяются формулой (7.61).

Другой вариант алгоритма некогерентного приема получается при замене его максимально правдоподобной оценкой

Как и при приеме точно известного сигнала, здесь происходит формирование оценки совокупности СП с целью их подавления, далее производится обычная квадратурная обработка сигналов с последующим сравнением результатов обработки для каждой позиции сигнала со своим порогом.

В условиях замираний сигнала оптимальное решающее правило можно найти усреднением (7.46) в соответствии с распределением параметров сигнала. Например, для рэлеевских замираний сигнала получим алгоритм

где среднестатистическое значение отношения энергии принятого сигнала к спектральной плотности мощности шума.

Нетрудно показать состоятельность и асимптотическую оптимальность полученных алгоритмов.

Возможные варианты схем реализации полученных алгоритмов рассматривались в [12].

Стохастическая модель СП. Рассмотрим прием квазидетерминированного сигнала при воздействии стохастической сосредоточенной помехи. Представим принятую смесь сигнала и помех (7.22) в форме

или в соответствии с (7.42)

Здесь

— сигнальная функция с учетом влияния на нее фильтра оценки СП с импульсной переходной характеристикой сигнальная функция на выходе фильтра оценки СП (7.40).

В (7.69) представляет собой оценку комплексной амплитуды СП, формирование которой возможно при помощи дифференциальных уравнений типа (7.31)...(7.33); -обновляющий процесс, являющийся белым гауссовским шумом с нулевым средним.

Алгоритм приема определяется неравенством (7.45), в котором отношение правдоподобия для сигнала относительно определяется выражением

— функционал отношения правдоподобия принятого сигнала при передаче — область возможных значений параметров сигнала — оценка СП.

В соответствии с (7.45), (7.71), (7.72) алгоритм приема полностью известного сигнала (когерентный прием) определится неравенством

Из (7.73) видно, что при когерентном приеме из принятой смеси вычитается оценка сосредоточенной помехи оптимальная по критерию минимума среднего квадрата ошибки, после чего происходит перемножение полученной разности на образец сигнала с учетом Влияния на него фильтра оценки СП. Пороговый уровень также учитывает факт влияния на сигнал переходной характеристики фильтра оценки По структуре алгоритм (7.73) такой же, как и для квазидетерминированной модели СП (7.54), различие только в способах формирования оценок СП и пороговых уровней. При введении обозначений

алгоритм (7,73) совпадает по форме с (7.63),

Алгоритм некогерентного приема сигналов с равномерным распределением фазы на интервале с учетом обозначений (7.74), (7.75) - полностью совпадает по форме с (7.65). Для сигналов с рэлеевскими замираниями алгоритм приема с учетом (7.74), (7.75) определяется выражением (7.67).

Таким образом, различие в алгоритмах приема при использовании двух моделей СП (квазидетерминированной и стохастической) заключается только в различных способах формирования оценок СП и пороговых уровней. Этим определяется различие в схемах реализации решающих правил приема.

Представляет интерес найти VV в другой, эквивалентной форме. Для этого запишем (7.74) в виде

где

Здесь — дельта-функция.

Интервал оценивания в принят совпадающим с интервалом решения (в общем случае они могут отличаться). Введем в рассмотрение обратное ядро

связанное с корреляционной функцией смеси помех с шумом соотношением

где

Из (7.76) с учетом (7.78) получим

или, вводя обозначение

имеем

Здесь функция в соответствии с (7.78), (7.79), (7.81) определяется неоднородным интегральным уравнением Фредгольмца

или с учетом (7.80)

Решение таких уравнений методами переменных состояния приведено в [171, т. 2, § 6]. Оно связано с переходом от интегральных уравнений к дифференциальным, что значительно упрощает как решение, так и моделирование их, в особенности с привлечением ЭВМ. Для перехода от (7.83) к дифференциальным уравнениям вводится функция

которая определяется уравнениями:

С учетом (7.84) уравнение (7.83) можно записать в виде

откуда следует, что

Подставляя (7.88) в (7.82), получаем

где — определяется моделированием уравнений (7.85), (7.86). В частном случае разложимого ядра корреляционной функции

где собственные числа и собственные функций ядра. Обратное ядро можно представить в виде

Подстановка (7.91) в (7.81) дает

Вводя обозначения

и используя (7.92) в (7.82), получаем

что совпадает с (7.64) для квазидетерминированной помехи при формировании оценки СП на интервале решения. Такой переход вполне естествен, так как квазидетерминированная помеха представляет собой шомеху с разложимым ядром корреляционной функции.

Для практических целей во многих случаях достаточно ограничиться учетом влияния конечного числа составляющих СП.

Оценка частоты СП. Вышеприведенные алгоритмы получены в предположении известной функции и известного количества СП. В общем случае они неизвестны, их нужно оценить. В частности, могут быть неизвестны средние частоты Вопросам оценки неизвестной частоты сигнала уделялось большое внимание, например в работах [142, 172, 173]. Воспользуемся результатами этих работ для рассмотрения возможных методов оценки частоты СП. Оценку частоты СП целесообразно проводить до начала сеанса; связи в отсутствие полезного сигнала с помощью классифицированной обучающей выборки помех (7.48). Представим совокупности помех в виде

где — средняя частота

Функционал отношения правдоподобия обучающей выборки помех определяется выражением

Поскольку

то при можно атренебречь изменениями в (7.96) от записать (7.95) так:

Здесь с — не зависящая от и величина.

Так как ищется оценка только озпи то усредним каждое по полагая равномерно распределенной на интервале

где

После интегрирования в (7.97) имеем

Соотношение (7.98) позволяет получить оценку частоты по критерию максимума апостериорной вероятности. Учитывая монотонность модифицированной функции Бесселя нулевого порядка оценка соответствует тому значению частоты, которое максимизирует величину

В [142] показано, что оценка несмещенная при

Таким образом, устройство для получения оценки частоты СП должно состоять из континуума обнаружителей вида (7.99) в полосе частот принимаемого сигнала. Реально достаточно иметь в устройстве оценки число таких блоков равным приблизительно базе сигнала. Это параллельный анализ опектра Его недостаток в громоздкости вследствие необходимости большого числа корреляторов огибающей (фильтров). Наряду с параллельным анализом спектра известен последовательный, в котором используется один фильтр, но время анализа увеличивается в базу раз. Возможно

комбинированное использование обоих методов, т. е. последовательно-параллельный анализ.

В целях упрощения технической реализации устройств оценки частоты ведутся поиски квазиоптимальных схем. Наиболее распространенным методом получения кваэиоптимальных устройств является их синтез о гауссовском (приближении [19]. Следуя методике синтеза устройств в гауссовском приближении в работе [173], получен квазиоптимальный алгоритм оценки частоты в виде системы ФАПЧ второго порядка. К недостаткам системы ФАПЧ относятся явление срыва слежения и, следовательно, случайное блуждание но частоте.

Для оценки частоты можно попользовать итеративные и рекуррентные алгоритмы. В [174] исследованы возможности построения алгоритмов приема с итеративной (процедурой оценки частоты СП на основе метода Ньютона, При этом итерация, определяющая очередное приближение к оценке максимального правдоподобия, определяется соотношением

В [174] формирование оценок ведется в дискретном времени» что представляет известные вычислительные преимущества, поэтому функционал отношения правдоподобия обучающей выборки в (7.100) имеет вид

Здесь шаг дискретизации; дискретные отсчеты на периоде

— максимально правдоподобные оценки квадратурных составляющих коэффициента передачи канала для на одном интервале обучения.

Оценка частоты асимптотически гауссовекая, число итераций алгоритма определяется степенью сходимости дисперсии оценки к своей нижней границе. Ею определяется допустимое

ухудшение помехоустойчивости приема. Моделированием на ЭЦВМ показано, что при приемлемая точность формирования оценки частоты СП имеет место уже на интервале порядка 10 шагов обучения.

При неизвестном числе воздействующих СП анализатор спектра дополняется классификатором, который ведет классификацию помех по степени опасности в смысле увеличения вероятности ошибочного приема (полезного сигнала. В простейшем случае можно вести классификацию помех по мощности на соответствующих частотах. Таким образом, в общем случае приемник должен содержать анализатор помеховой обстановки, классификатор и подавитель СП. Подавитель состоит из устройства формирования оценки СП и вычитающего устройства. Подробное рассмотрение вопросов анализа и классификации СП требует самостоятельного исследования и выходит за рамхи данной работы. Далее будут предполагаться известными функция и число воздействующих