4.3. СТАТИСТИКА ОШИБОК В КАНАЛАХ С ОФМ

Рассмотрим передачу информации блоками. В этом случае в схеме рис. последовательность -ичных символов на входе относительного кодера подразделяется на блоки длиной символов каждый. Неоднозначность канала исключается при относительном декодировании, а оценка передаваемой последовательности состоит из блоков информационных символов и ошибок преобразованных относительным декодером. Под действием ошибок в декодере происходит смена состояний. Последовательность состояний образует простую марковскую цепь, поскольку вероятности переходов в состояния зависят только от предыдущих состояний

Матрица смежностей диаграммы состояний относительного декодера имеет размеры элементов и может быть построена по следующим правилам. По строкам расположены номера предыдущих состояний, по столбцам — последующих. Символ содержится в элементах главной диагонали, символы в элементах первой строки. В остальных строках расположены циклические перестановки этой последовательности. Все элементы столбца с номером содержат переменную Например, при матрица смежностей диаграммы, приведенной на рис, 4.2, а, имеет вид

Каждую матрицу смежностей можно представить в виде суммы матриц, ненулевые элементы которых содержат переменные с определенными индексами. Если обозначить

то результирующая матрица будет Матрица содержит элементы безошибочных переходов Тогда — матрица переходов, содержащих ошибку вида Очевидно, что в общем случае

Набор всех возможных переходов за тактов описывается степенью матрицы смежностей:

Поскольку произведение матриц в общем случае некоммутативно, при вычислениях по формуле (4.6) необходимо соблюдать порядок умножения.

Первое слагаемое в этом выражении определяет набор всех безошибочные последовательностей, второе — набор последовательностей, содержащих ошибку вида третье — две ошибки вида расположенных произвольно, и Последнее слагаемое определяет все последовательности, содержащие ошибку во всех символах на длине блока

Определим вероятность безошибочной передачи блока символов. Матрицы переходных вероятностей марковских цепей могут быть получены из матриц смежностей, их степеней и произведении, если в каждом элементе символ ошибки заменить вероятностью ошибки на входе а также положить . В общем случае матрицу вероятностен одношагового перехода можно представить в виде совокупности одинаковых строк:

Рассматриваемые цепи Маркова являются эргодическими. Для них определены финальные вероятности пребывания дискретного автомата в состояниях которые могут быть представлены в виде матрицы-строки:

где символ транспонировании.

Финальные вероятности можно определить из решения матричного уравнения Используя выражения (4.7) и (4.8), нетрудно показать, что финальные вероятности совпадают с соответствующими вероятностями переходов, т. е.

Рис. 4.3. Области ошибок при передаче спптгмон ФМ

Матрица условных вероятностей безошибочных переходов по длине блока

безусловные вероятности безошибочных переходов можно определить как произведение матриц и (4.9):

Результирующая безусловная вероятность безошибочной передачи блока из символов по каналу с -позиционной ОФМ определится как сумма элементов матрицы-строки (4.10):

Вероятности ошибки на входе декодера определяют расположением сигнальных точек в ансамбле и шумом в канале. На показано расположение мольных точек ансамбля ФМ. Символ соответствует правильному приему, 1. с расположению вектора суммы сигнала и помехи в области переданного сигнала Ошибки соответствуют расположению вектора в областях Можно показать (см. § 2.2), что вероятности ошибок на входе декодера определяются выражениями:

Для каналов с малой вероятностью ошибки в сумме (4.11) достаточно учесть первое слагаемое. Поэтому вероятность безошибочной передачи блока из символов при не очень больших можно определить по приближен мои формуле

Второе слагаемое в вира женин (4.6) описывает множество последовательностей с одной ошибкой вида

Отсюда получаем матрицу переходных вероятностей:

После умножения матрицы финальных вероятностей (4.8) на матрицу (4.15) в сложения элементов строк получаем окончательное выражение для безусловной вероятности ошибки вида в блоке символов длины на выходе относительного декодера:

Из рис. 4.3 видно, что области ошибок симметрично расположены вследствие чего вероятности и одинаковы. В общем случае Нетрудно показать, что

а вероятность однократной ошибки вида

В этом выражении индекс берется по модулю

При малых вероятностях ошибки в выражениях можно также выделить существенные слагаемые. Например, при вероятность ошибки

либо, учитывая только первое слагаемое при и последнее слагаемое при получаем приближенное выражение, которое при можно представить так:

Анализ показывает, что однократные ошибки на выходе декодера чаще происходят на границах блока. Однократные ошибки внутри блока маловероятны. Вместе с тем двукратные ошибки на выходе с равной вероятностью могут

происходить как на границах, так и внутри блока. Здесь типичными являются последовательности переходов, выходящих из состояния и возвращающихся в это состояние через два шага. Например, как видно из диаграммы состояний возможным следующие последовательности Число вариантов расположения каждой пары ошибок на длине равно Причем наиболее вероятны пары смежных ошибок. Если две ошибки в блоке разделены безошибочными символами, зроятность такой конфигурации значительно уменьшается.

При сигналы неэквидистантпы. В этом случае наиболее вероятными будут ошибки в канале, обусловленные переходами в области соседних с передаваемым сигналом. Наиболее вероятные последовательности можно определить, пользуясь фрагментом диаграммы состояний, приведенным на рис. 4.4. Здесь учтены только переходы, содержащие ошибки на входе вида как наиболее вероятные. В табл. прицелены для числа фаз и 8 как формулы для расчета вероятностей различных конфигураций ошибок при когерентном приеме ОФМ, так и приближенные формулы для вероятностей ошибок различной кратности на длине блока

При малой вероятности ошибки в канале вероятности ошибок четной кратности всегда больше вероятностей ошибки кратности Это следует из формул, приведенных в табл. 4.1, Группирование ошибок в пары на выходе канала с двоичной ОФМ отмечалось в [93, 94, 63] и др. На рис. 4.5 приведена зависн мость вероятности однократных ошибок и двукратных ошибок

Рис. 4.4. Фрагмент диаграммы состояний

Рис. 4.5. Кривые вероятности однократных и двукратных ошибок на выходе канала с ОФМ

Рис. 4.6. Характеристики группирования ошибок при ОФМ

Таблица 4.1 (см. скан)

на выходе канала с двоичной ОФМ при различной длине блока Видно, что при вероятности ошибок в канале основную долю ошибок составляют двукратные. Приближенные выражения для подсчета справедливы при . Группирование ошибок в пакеты четной кратности видно из кривых, приведенных на рис. 4.6, где показаны зависимости вероятностей для и различной длины блока.

Характеристики ошибок при большом отношении сигнал-шум в канале могут быть определены также методом порождающих функций, использованным в 5 3,3 для оценки помехоустойчивости декодирования сверточпых кодов.

Модифицированная диаграмма состояний относительного декодера при полученная расчленением состояния на состояния показана на рис. 4.7,а. Каждая ветвь диаграммы содержит также переменную что необходимо для подсчета числа шагов по диаграмме. Диаграмма позволяет определить набор всех возможных путей, ведущих из состояния в состояние каждый из вторых начинается с ошибочного символа Используя известные правила записи передаточных функций ориентированных графов, состоящих из цепочечного соединения узлов с петлями, передаточную функцию в данном случае можно представить так:

Рис. 47. Модифицированные диаграммы состояний:

Порождающая функция ошибки То описывает наборы конфигураций ошибок на выходе относительного декодера, определяемых наборами ошибок на входе Первый член разложения показывает, что при действии на входе однократной ошибки на выходе декодера произойдет две ошибки подряд на длине в два символа При действии двух ошибок по длине из трех символов на выходе будет также два ошибочных символа . В общем случае диаграмма состояний может содержать также состояния в качестве промежуточных, как показано на рис. Такой ориентированный граф расчленяется на участки, расположенные слева и справа от состояния с передаточными функциями вида (1.21) и петлей в состоянии Если имеется к промежуточных состояний порождающая функция

Из выражений (4.21) и (4.22) следует, что при наступлении ошибочного события на выходе декодера ОФМ будут пакеты ошибок, содержащие только четное число ошибочных символов .