1.3. ОПТИМИЗАЦИЯ СПИ ПО ИНФОРМАЦИОННЫМ КРИТЕРИЯМ

В теории помехоустойчивости оптимизация приемной части СПИ в общем случае осуществляется на основе критерия среднего риска

где - переданное сообщение; - сообщение, воспроизведенное на выходе приемника; — функция потерь и области возможных значений и Функция определяет относительную значимость ошибки (расхождение между ). Обычно эта функция выбирается так, что она возрастает по мере увеличения расхождения между . В СПИ наибольшее распространение получил критерий помехоустойчивости, основанный на использовании простой функции потерь. Эта функция определяется как функция, которая принимает значение 0 для всех правильных решений и 1 для всех неправильных решений:

Простая функция потерь приемлема для тех систем, для которых любые ошибки одинаково нежелательны. Однако во многих случаях степень нежелательности ошибки возрастает по мере увеличения этой ошибки. В этом случае потери, определяемые функцией также должны возрастать с увеличением ошибки. Можно предложить много различных функций потерь, удовлетворяющих этому условию. Среди них наиболее распространенной и удобной для систем передачи непрерывных сообщений является квадратическая функция потерь

при которой помехоустойчивость системы оценивается среднеквадратической ошибкой

Разность можно рассматривать как помеху на выходе приемника (шум воспроизведения). Если положить б) то

где — условная энтропия, определяющая количество информации, потерянной в канале из-за воздействия шумов. В этом случае критерий минимума среднего риска совпадает с критерием минимума потерь информации в канале.

Для систем передачи дискретных сообщений средний риск определяется выражением

Простая функция потерь в этом случае

При этом средний риск

где средняя (полная) вероятность ошибки.

Таким образом, общеизвестные критерии минимальной среднеквадратической ошибки при передаче непрерывных сообщений и критерий минимальной вероятности ошибки (критерий идеального наблюдателя) при передаче дискретных сообщений являются частными случаями критерия минимального среднего риска. Критерий идеального наблюдателя, как известно [45], реализуется правилом максимума апостериорной вероятности, которое в случае равенства всех априорных вероятностей сводится к правилу максимума правдоподобия.

Рассмотренные выше критерии стали универсальными при разработке СПИ. На основании их разработана теория оптимального приема. Впервые эта теория для гауссовского канала была разработана В. А. Котельниковым, создавшим в 1946 г. теорию потенциальной помехоустойчивости. В дальнейшем эта теория была развита для каналов с переменными параметрами, затем для каналов с памятью и, наконец, для каналов с сосредоточенными помехами. Однако на основании методов теории помехоустойчивости удается оптимизировать достаточно строго и полно лишь алгоритмы обработки сигналов при приеме, т. е. оптимизировать приемную часть СПИ. Решить же задачу выбора оптимального закона модуляции, и особенно оптимального кодирования, на базе этой теории не удается. Критерий минимума вероятности ошибки является достаточно полным для систем без кодирования. В этих системах оптимизация СПИ фактически сводится к оптимизации модема. В системах с кодированием задача существенно усложняется. Здесь в формировании и обработке сигнала важная роль отводится кодекам. Основным показателем качества таких систем становится скорость передачи, при которой обеспечивается заданная вероятность ошибки.

Оптимизация СПИ в целом, т. е. с учетом устройств кодирования и декодирования, осуществляется на основе теории информации, фундаментальные основы которой были разработаны К. Шенноном.

Технический эффект СПИ в конечном итоге определяется количеством и качеством переданной информации за некоторый промежуток времени или в единицу времени, т. е. скоростью передачи и верностью передачи (вероятностью ошибки при

передаче дискретных сообщений или квадратом среднеквадратичен ской ошибки при передаче непрерывных сообщений). Для обеспечения заданных используется канал с полосой и отношением сигнал/шум где мощность сигнала; спектральная плотность шума в канале. Мощность сигнала отношение и отводимая полоса частот канала являются основными ресурсами канала. Поэтому целесообразна ввести коэффициенты определяющие энергетическую и частотную эффективность СПИ [5]:

Из выражений (1.24) видно, что показатели эффективности имеют смысл удельных скоростей. Так, коэффициент 7 имеет размерность и характеризуется скоростью передачи сообщений в единичной полосе частот. Скорость передачи по каналу с шумами определяется известными соотношениями, которые в сокращенной записи имеют следующий вид:

где информация, содержащаяся в принятом сигнале относительно переданного сигнала среднее время передачи сигнала; энтропия переданного сигнала, определяющая количество переданной информации на один сигнал длительностью условная энтропия, определяющая количество информации, потерянное в канале из-за шумов [45] В отсутствие шумов в канале и

равна производительности источника сигналов.

Пропускная способность канала в общем случае определяется как

Для непрерывного канала с аддитивным гауссовским шумом на основе этого соотношения легко получить известную формулу Шеннона для пропускной способности

или в расчете на один символ (отсчет) (в бит/отсчет):

Для симметричного дискретного канала без памяти

где число кодовых символов, передаваемых по каналу секунду; основание кода; вероятность ошибочного

приема символа (бита), зависящая как от вида модуляции, так и от способа приема.

В частном случае для двоичного симметричного канала

где

Отметим, что скорость передачи зависит не только от канала, но и от свойств подаваемых на его вход сигналов, в то время как пропускная способность зависит только от канала.

Коэффициенты являются важнейшими характеристиками, определяющими технический эффект СПИ. В качестве обобщенного показателя технического эффекта СПИ вводится коэффициент использования пропускной способности канала (информационная эффективность)

где избыточность канала. Согласно (1.28) и (1.33)

Примем эту функцию в качестве целевой и определим ее максимальное значение.

Согласно теореме Шеннона [26] при соответствующих способах передачи (кодирования и модуляции) и приема (демодуляции и декодирования) значение цтвх может быть близким к единице. При этом ошибка может быть сделана сколь угодно малой. В таком случае из условия получаем следующую предельную зависимость между :

Удобно эту зависимость представить графически в виде кривой на плоскости (рис. 1.4). Полученная кривая является предельной и отражает наилучший обмен между и 7. Следует заметить, что -эффективность может изменяться в широких пределах (от О до при аналоговой передаче и от 0 до при дискретной передаче), в то время как -эффективность ограничена сверху: при При логарифмическом масштабе, который и принят на рис. 1.4, в соответствии с соотношением линии одинаковых значений превышения сигнала над шумом представляют собой прямые с углом наклона 45°.

В реальных системах ошибка всегда имеет конечное значение и В этих случаях при рдоп можно определить отдельно и построить кривые при Для примера на рис. 1.4 нанесены рассчитанные в § 2.7 кривые для ортогональных биортогональных (БС) и фазоманипулированных сигналов для различного числа сигналов и вероятности ошибки в координатах каждому варианту реальной системы будет соответствовать точка на плоскости. Все эти точки

(кривые) располагаются ниже предельной кривой Шеннона. Ход этих кривых зависит от вида сигналов (модуляции), кода и способа обработки сигналов. Полученные таким образом -диаграммы позволяют сравнительно быстро выбрать системы, удовлетворяющие заданным требованиям, т. е. осуществить оптимизацию по коэффициентам При этом можно осуществить оптимизацию по одной из частных стратегий:

Рис. 1.4. Кривые эффективности СПИ

1) максимизировать энергетическую эффективность при допустимых изменениях и заданной ошибке

2) максимизировать частотную эффективность у при допустимых изменениях и заданной ошибке где области допустимых изменений

Например, пусть заданы скорость передачи полоса частот канала и отношение сигнал-шум Тогда область возможных значений можно разбить на четыре квадранта (рис. 1.4). Системы, расположенные в квадранте I, удовлетворяют требованиям по обоим показателям: Системы, расположенные в квадранте II, удовлетворяют требованиям только по а системы квадранта IV удовлетворяют требованиям только по у. Системы квадранта III не удовлетворяют требованиям по обоим показателям:

Возможные системы передачи сообщений можно условно разбить на две группы: системы с высокой -эффективностью (но малой и системы с высокой -эффективностью (и соответственна малой . К первой группе относятся системы, в которых первостепенное значение имеют энергетические показатели, в частности космические и спутниковые системы связи. Для них определяющей является первая стратегия, согласно которой необходима обеспечить наилучшее использование мощности сигнала при заданной верности передачи. В системах проводной связи важнейшим показателем является -эффективность. Оптимизация таких систем производится по второй стратегии, согласно которой необходимо добиться наилучшего использования полосы частот канала при заданной верности передачи. В ряде случаев требуется компромиссное решение, при котором одновременно достигаются заданные (достаточно высокие) значения Диаграммы позволяют решить и эту задачу.

Технический эффект иногда удобно определять в случае первой стратегии по энергетическому выигрышу

Здесь энергетическая эффективность выбранной системы или варианта системы и энергетическая эффективность базовой (эталонной) системы.

В случае второй стратегии определяют выигрыш по удельной скорости или, в частности, выигрыш по занимаемой полосе частот (при

Здесь аналогично частотная эффективность выбранной (рассматриваемой) и эталонной системы соответственно. Выигрыш (в дБ) легко определяется по кривым как разность соответствующих координат:

Базовый вариант необходим для того, чтобы определить «уровень совершенства» выбранного технического решения (варианта системы). Базовыми могут быть наиболее распространенные или наиболее совершенные из известных разработанных систем. Так, при сравнении аналоговых систем модуляции часто в качестве базовой выбирают однополосную модуляцию. При сравнении систем дискретной передачи базовой обычно выбирают четырехфазную модуляцию как наиболее эффективную из простых систем. Варианты цифровых систем с устройствами сжатия данных принято сравнивать со стандартной импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ), в которой никаких мер по устранению избы точности не принимается. В этой системе, как известно, и дискретизация, и квантование, и код выбираются равномерными.

Полезными могут оказаться сравнения с идеальной системой, в нашем случае с пределом Шеннона:

В этом случае выигрыш будет отрицательным (проигрыш). По величине проигрыша можно судить, насколько близка выбранная система к идеальной и насколько целесообразна разработка более совершенных систем на данном уровне развития техники.

После того как выбрана система по показателям по формуле (1.34) определяется обобщенный показатель технического эффекта — информационная эффективность Определив таким образом приемлемые варианты систем по техническому эффекту рассчитываем затраты для этих вариантов. После чего можно осуществить технико-экономический анализ по принципу минимальных затрат (1.14):

где допустимая область изменения информационной эффективности и — заданное значение вероятности ошибки.

Следует иметь в виду, что при анализе систем по двум показателям (в нашем случае по решение, обращающее в максимум (минимум) один показатель, не обращает в максимум (минимум) другой показатель. Поэтому лучшей считается такая система, которая обеспечивает максимум (минимум) одного показателя при заданном втором показателе, например, максимум информационной эффективности при заданных затратах или минимум затрат при заданном значении

Для более подробного анализа удобно результаты расчетов представить графически. Пусть нам предстоит сделать выбор из нескольких вариантов систем руководствуясь двумя показателями: Каждому варианту системы соответствует точка на плоскости с координатами (рис. 1.5). Легко видеть, что условию максимума при заданном значении и соответственно условию минимума при заданном значении удовлетворяют системы, лежащие на левой и верхней границах области возможных (приемлемых) вариантов (штриховая линия на рис. 1.5). Остальные варианты, лежащие ниже и правее кривой, этому условию не удовлетворяют и могут быть сразу отброшены. Остается проанализировать только четыре варианта: Вариант обеспечивает наибольшую эффективность но требует больших затрат Варианты мало отличаются по эффективности, Затраты при реализации варианта значительно меньше, и поэтому, по-видимому, следует отдать предпочтение варианту В экономическом отношении этот вариант несколько уступает варианту , но зато эффективность его значительно больше, чем эффективность варианта

Рис. 1.5. Графическое представление зависимости от

Следует заметить, что высокая (или заданная) информационная эффективность может быть достигнута различными путями; при большом значении за счет уменьшения у или за счет уменьшения при сравнительно большом у. При этом потребуется реализация совершенно разных систем. Диаграммы четко указывают, какие системы необходимо выбирать в первом случае и какие во втором. В обобщенном показателе это различие теряется. Поэтому технико-экономическому анализу по минимуму затрат при допустимых значениях должен предшествовать выбор приемлемых вариантов систем по показателям и

В системах с помехоустойчивым кодированием коэффициенты характеризуют не только модем, но и кодек. Действительно, соотношения (1.24) можно представить в следующем виде:

где энергия, необходимая для передачи одной двоичной единицы (бита) информации; скорость передачи информации в битах на один сигнал длительностью Эта скорость полностью определяется системой модуляции. Скорость (относительная) кода

определяется видом выбранного кода и его избыточностью (при двоичном кодировании Энергия сигнала при использовании кода со скоростью при фиксированных очевидно, будет равна

Коэффициенты можно рассчитать для большинства реальных систем с целью их сравнения, а также по их изменениям оценить степень влияния характеристик реальных каналов и неидеальности параметров устройств передачи и приема сигналов.

Для систем с помехоустойчивым кодированием информационную эффективность можно представить в виде произведения эффективности кодека канала и эффективности модема

где избыточность соответственно кодека канала (кода) и модема (сигнала). В этом случае предполагается, что источник не содержит избыточности Для систем со сжатием данных и помехоустойчивым кодированием (см. рис. 1.2).

где эффективность кодека источника. В системах с многими доступами (см. рис. 1.3) эффективность существенно снижается за счет несовершенства системы разделения сигналов. Для таких систем

где эффективность системы разделения, которая определяется как отношение суммы пропускных способностей парциальных каналов к пропускной способности общего канала при одном сигнале:

где определяются на основании формулы Шеннона (1.28) с учетом метода разделения сигналов.

При частотном разделении ширина полосы частот общего канала разделена на парциальных каналов с шириной полосы и средней мощностью Для исключения взаимных помех при разделении сигналов вводятся защитные полосы так, что

где коэффициент, характеризующий использование полосы частот канала.

В случае, когда все парциальные каналы одинаковы,

В канале с ограниченной средней мощностью

а при идентичных каналах

Мощность шума в парциальном канале

Тогда согласно (1.28)

а пропускная способность суммы независимых парциальных каналов

При идентичных каналах

При временном разделении сигналов тактовый интервал временя разбивается на интервалов длительностью Каждый этих интервалов используется для передачи сигнала одного канала. Так что каждый канальный сигнал имеет полную мощность занимает всю полосу частот но передается в течение части цикла времени, равного где коэффициент, учитывающий наличие временных защитных интервалов.

Для канала с ограниченной средней мощностью на основании (1.28) имеем:

Подробные расчеты для различных видов разделения, в том числе и для разделения по форме, приведены в книге [55]. Эти расчеты показывают, что наиболее эффективным является метод временного разделения, за ним следуют частотное разделение и разделение по форме.