2.5. МНОГОМЕРНЫЕ СИГНАЛЫ ОБЪЕМНО-СФЕРИЧЕСКОИ УКЛАДКИ

Как и в двумерном случае, использование внутреннего объема многомерной сферы для размещения сигнальных точек дает определенный выигрыш по сравнению с поверхностно-сферической укладкой. Существенным этот выигрыш будет, очевидно, при небольших значениях размерности пространства, так как с ростом V, как известно, основной объем многомерной сферы сосредоточивается у ее поверхности. Построение ансамблей многомерных сигналов наиболее просто осуществить, используя в качестве основы пространственную решетку [61]. Решетка — регулярная пространственная совокупность точек, порождаемая совокупностью линейноннезависимых векторов в мерном пространстве. Строки порождающей матрицы являются координатами этих векторов;

Число линейно-независимых порождающих векторов называется размерностью решетки. Координаты всех точек решетки определяются как целочисленные комбинации строк матрицы (2.45). Каждая решетчатая укладка характеризуется коэффициентом заполнения При этом предполагается, что точки выбранной решетки являются центрами -мерных сфер. Возможны и геометрические способы задания точек решетки. В работе [61] приведены справочные сведения по плотпейшим решетчатым укладкам в пространствах различной размерности.

В частности, в четырехмерном пространстве порождающая матрица имеет вид

Линейные комбинации строк этой матрицы дают первые 24 точки пространственной решетки, расположенные на одинаковом расстоянии от начала координат, равном 1:

Расстояние между ближайшими точками этой решетки Перебор других возможных комбинаций векторов порождающей матрицы (2.46) позволяет получить координаты сигнальных точек, расположенные на сферах возрастающего радиуса. В табл. 2.5 приведены основные параметры этой решетки; квадрат расстояния от начала координат; число точек, расположенных на сфере радиуса

Таблица 2.5 (см. скан)

Необходимо отметить, что ансамбль (2.47) с точностью до постоянного множителя совладает с ансамблем (2.41), полученным на основе перестановочной модуляции. Таким образом, в четырехмерном пространстве сигнальные точки ансамбля плотнейшей поверхностно-сферической укладки совпадают с точками пространственной решетки плотнейшей объемной укладки.

Выбирая часть точек пространственной решетки, можно конструировать ансамбли плотнейшей укладкэи различного объема. Это

щщно из примеров для двумерного пространства, приведенных на рис. Порождающая матрица двумерной решетки плотнейшей укладки (треугольной сети) имеет вид

При в соответствии с табл. 2.5 на окружности радиуса находится точки, затем на окружности радиуса точки Так как средняя энергия объем ансамбля где номер сферы наибольшего радиуса, на которой расположены точки ансамбля, это позволяет вычислить параметры ансаимблей плотнейшей укладки при различных и Результаты расчетов приведены на рис, 2.14, Слева кривые начинаются с точек, соответствующих размещению сигналов ансамбля только на сфере наименьшего радиуса, отличного от нуля (а также внутри нее, когда решетка имеет точку, совпадающую с началом координат). Видно, что с ростом удельной скорости коэффициент помехоустойчивости снижается. Вместе с тем растет с увеличением размерности пространства сигналов.

Рис. 2.14. Диаграмма сигналов шютнейшей объемно-сферической укладки

Рис. 2.15. Ансамбли сигналов

Реализация оптимального приема сигналов плотнейшей объемной укладки во многих случаях представляет значительные трудности. Поэтому, как и в случае двумерных сигналов, поиск подходящих ансамблей часто обусловлен соображениями простоты формирования и обработки сигналов на приеме. Особый интерес представляют такие -мерные пространства, в которых объемная Решетка плотнейшей упаковки проектируется на каждое из двумерных подпространств в виде квадратной сети. При этом, возможно, легко реализуемые ансамбли на основе квадратной сети

будут обладать характеристиками, близкими к плотнейшим расположениям. При как отмечалось в § 2.3, плотнейшсй является треугольная сеть. При только одна из трех возможных проекций на двумерное пространство имеет вид квадратной сети [69]. Однако уже при сигнальные точки плотнейшей укладки образуют пространственную решетку, проекции которой на любое из двумерных подпространств имеют вид плоской решетки с квадратными ячейками. Это же имеет место и при

Рассмотрим ансамбли четырехмерного пространства. Будем располагать сигнальные точки в узлах квадратной сети каждого из двух двумерных подпространств и как показано на рис. 2.15. При этом важным является правило выбора точек, принадлежащих каждому из сигналов, гарантирующее заданное минимальное расстояние между четырехмерными сигналами. Если в каждом из подпространств расстояние между точками, расположенными по диагонали квадрата равно а правило выбора точек соответствует указанному на рис. 2.15, то минимальное расстояние между сигналами ансамбля также равно Записывая в соответствии с рис. 2.15 координаты четырехмерных сигналов, получаем ансамбль

Он содержит восемь сигналов и совпадает с ансамблем биортогональных сигналов. Его можно разбить на два подансамбля, содержащих сигналы с четными и нечетными номерами:

Нетрудно видеть, что минимальное расстояние между сигналами в подансамблях равно При этом ближайшие сигналы отличаются двумя координатами в одном из подпространств или . В то же время сигналы из разных подансамблей различаются как минимум также двумя координатами, что также обеспечивает расстояние, равное Такой способ подразделения исходного ансамбля на группы сигналов с гарантированным расстоянием внутри каждой группы и между сигналами разных групп можно применить и при

На рис. 2.16 приведены примеры четырехмерных ансамбле сигналов объемной укладки [70]. Сигнальные точки расположена

в узлах квадратной сети и показаны кружками и оплошными точками. Это соответствует разбиению ансамбля сигналов на две группы. Первая пара координат (в подпространстве ) выбирается с использованием точек любого вида, однако вторая пара координат подпространстве выбирается только из подмножества того вида, который был ?ислользовать при первом выборе. Нетрудно видеть, что совокупность сигналов, показанная на рис. 2.15, и ансамбль при на рис. 2.16 идентичны. Здесь же показана средняя энергия сигналов ансамбля выраженная через минимальное расстояние Это позволяет вычислить параметры ансамблей при различных значениях Результаты расчетов показаны на рис. 2.14 (крестики). Как и ожидалось, рассмотренные сигналы весьма близки к ансамблям плотнейшей укладки в четырехмерном пространстве.

Рис. 2.16. Ансамбли сигналов четырехмерного пространства

Возможность размещения сигнальных точек в многомерном объеме предоставляет большое число вариантов построения ансамблей. Например, в работе рассмотрены варианты ансамблей в четырехмерном пространстве, получаемых как совокупность подансамблей поверхностно-сферической укладки на сферах возрастающего радиуса. Каждый из подансамблей получен как перестановочный путем изменения мест расположения и знаков координат базисных векторов. Если в качестве базисных векторов использовать

то результирующее количество сигналов будет 145. Сигнал расположен в начале координат. На сфере единичного радиуса расположены сигнальные точки полного кубичного кода порождаемые перестановками координат вектора . Здесь же размещаются восемь вершин кроссполитола образующих биортогональный ансамбль. Перестановки элементов базисного вектора порождают сигналы плотнейшей укладки расположенные на сфере радиуса Наконец, на

сфере радиуса расположены точки двух ансамблей, порожденных перестановками координат вектора Расчет параметров этого ансамбля показывает, что он весьма близок к границе объемно-сферической упаковки