8.8. СПЛАЙН-ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Наряду с предсказанием для сокращения избыточности непрерывных сообщений широко используются методы декорреляции, основанные на аппроксимации первичных сигналов с помощью различных базисных функций. Чаще всего в качестве таких функций используются степенные полиномы нулевого и первого порядков. Апостериорный анализ на основе интерполяции позволяет исключить значительную часть избыточных отсчетов путем сравнения исходного с и гнал а с аппроксимирующей и передать только те отсчеты (назовем их информационными), для которых выполняется условие где допустимая ошибка аппроксимации. Совокупность информационных отсчетов вместе с информацией о временных интервалах между ними позволяет остановить на приеме исходное сообщение с ошибкой

В последнее время проявляется большой интерес к интерполяционным метолом сжатия данных с применением кусочно-полиномиальной интерполяции на основе сплайн-функций. Среди всех кусочно-полиномиальных функций сплайны Задают наибольшей гладкостью за счет непрерывности нескольких производных. Широко используется следующее определение сплайна. Пусть задана сетка вещественной переменной

Сплайном заданным на сетке (порядка дефекта ) называется функция

Выражение (8.80) определяет сплайн как объединение полиномов степени на интервале а выражение (8.81) выражает условие непрерывности производных сплайна на интервале

В [193] разработан рекуррентный алгоритм построения сплайна для интервала аргумента в предположении, что все коэффициенты на предыдущих интервалах определены и известны значения функции на ограниченном множестве точек, т. е.

Рассмотрим случай кубического сплайна дефекта для задержки Из условия (8.81) при следует равенство а согласно (8.80)

Отсюда получаем первое уравнение рекуррентного алгоритма:

Запишем это уравнение относительно для интервала:

При из (8.81) следует

После дифференцирования и подстановки получаем второе уравнение рекуррентного алгоритма:

Аналогично из (8.81) при имеем третье уравнение:

Кроме того, из условия равенства интерполируемой и интерполирующей функций в узлах интерполяции следует четвертое уравнение т. е.

Объединив полученные уравнения, имеем следующую систему, отражающую рекуррентный алгоритм построения кубического сплайна:

где длина интервала.

Для обеспечения устойчивости алгоритма (8.86) необходимо наложить одно из дополнительных условий. Эти условия могут быть сформулированы, как показано в [193], например как требования минимизации выражений вида:

Потребуем выполнения второго локального условия,

Выполняя интегрирование, имеем

Тогда условие минимума интеграла

из (8.88) получаем

Теперь для трех коэффициентов имеем четыре уравнения (8.82), (8.83), (8.84) и (8.89). Так как всем им удовлетворить невозможно, то откажемся от одного из них, например (8.84). Тогда определится из (8.83), а из совместного решения (8.82) и (8,89). Учитывая, что окончательно получаем следующие формулы для определения коэффициентов кубического сплайна на интервале независимой переменной

Алгоритм сплайн-интерполяции на основе (8.90) устойчив и может служить основой для построения приемного устройства [194]. Алгоритм преобразования первичного сигнала с помощью сплайн-интерполяции представляет собой процесс выбора информационных отсчетов из равномерной последовательности от счетов где В результате такого преобразования получается последовательность неравноотстоящих отсчетов этого сигнала, предназначенная для передачи по каналу. На приемной стороне переданный сигнал восстанавливается с заданной точностью по значениям информационных отсчетов и их расстановка во времени. Действительно, восстановленный сигнал представляет собой сплайн-функцию, которая на каждом интервале между опорными отсчетами определяется формулой

Значения коэффициентов в (8.91) вычисляются через отсчеты функции и интервалы между ними по формулам (8.90); величина коэффициента задается произвольно. В результате получается совокупность равноотстоящих отсчетов сплайн-функции т. е. для последовательности неравноотстоящих отсчетов вычисляются значения сплайнов в моменты времени, соответствующие пропущенным отсчетам сигнала.

Рассмотренные алгоритмы сплайн-интерполяции непрерывных сигналов можно реализовать с помощью ЭВМ или с помощью специализированных устройств, работающих в реальном масштабе времени. Одна из возможных схем такого устройства приведена на рис. 8.5 [194]. Из блока хранения отсчетов отсчеты исходного сигнала поступают в блок вычисления 2, где по значениям этих отсчетов и формулам (8.90), (8.91) вычисляются коэффициенты и значение сплайна При увеличении интервала аппроксимации часть коэффициентов, не подлежащая пересчету, из блока вычисления 2 поступает в блок хранения коэффициентов 3. Считывание коэффициентов из блока 3 происходит при увеличении интервала аппроксимации и поступлении в блок 3 из блока сравнения 4 импульса разрешения считывания. Этот импульс на выходе блока 4 появляется в случае, если разность между отсчетами исходного сигнала, поступающими из блока и значениями сплайна, вычисленными в блоке 2, не превосходит допустимой погрешности . В противном случае, когда эта разность превосходит хотя бы одной точке, предпоследний отсчет интервала аппроксимации считается исходным для определения нового интервала аппроксимации. Результаты моделирования методов сплайн-интерполяции на ЭВМ и простота их технической реализации позволяют сделать вывод о перспективности их использования для сокращения избыточности в речевых и видеосигналах.

Рис. 8.5. Структурная схема сплайн-аппроксимации