1.5. ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ, УДЕЛЬНАЯ СКОРОСТЬ ПЕРЕДАЧИ И СЛОЖНОСТЬ СИСТЕМЫ

Важнейшими показателями системы передачи дискретных сообщений являются скорость передачи R (бит/с) и вероятность ошибки характеризующая верность передачи. Эти показатели непосредственно определяют информационные характеристики системы — количество и качество переданной информации. Совокупность этих двух показателей достаточно полно определяет информационную эффективность (технический эффект) системы.

В традиционных системах связи при малых скоростях и умеренной верности передачи необходимые показатели достигаются соответствующим выбором сигналов, т. е. выбором вида модуляции и демодуляции (модема), — в кодировании нет необходимости. В таких системах скорость передачи сообщений от источника (информационная скорость) и скорость передачи символов сигнала в канале одинаковы; где длительность элементарного сигнала. Эта скорость заранее известна и полностью определяется источником сообщений. Основным показателем качества работы таких систем является вероятность ошибки

В двоичном симметричном канале с белым шумом при поэлементном оптимальном приеме [4, 5]

Здесь расстояние между сигналами коэффициент взаимной корреляции между этими сигналами. Для сигналов с одинаковыми энергиями

Для противоположных сигналов для ортогональных Если вероятность ошибочного приема одного символа (бита) сигнала, то вероятность ошибочного приема последовательности из К независимых символов

где длительность последовательности

Из соотношений (1.60) и (1.63) следует, что в системах без кодирования вероятность ошибки может быть уменьшена лишь за счет увеличения мощности сигнала или уменьшения скорости передачи.

При высоких требованиях к верности передачи (малых целесообразным становится применение корректирующих кодов. В тех случаях, когда требуются одновременно высокая верность и большая скорость передачи данных, становится неизбежным применение мощных кодов и соответственно сложных кодеков. В кодовых системах (кодирование с избыточностью), где Здесь К — длина сообщения (число информационных символов); число независимых отсчетов на интервале т. е. число двоичных символов в передаваемой кодовой последовательности.

Рассмотрим систему, в которой каждый из равновероятных сигналов передается независимо последовательностью из двоичных символов (всего таких последовательностей будет .

Для любой совокупности равновероятных сигналов вероятность ошибки декодирования

где - вероятность ошибки в системе, использующей сигналы для передачи двух равновероятных сообщений. Выражение (1.64) определяет вероятность того, что принятый сигнал может оказаться ближе к любому из сигналов чем к переданному Для симметричных систем сигналов большая часть слагаемых в (1.64) одинакова и

Оценка правой части выражения (1.64) требует точного знания совокупности сигналов и большого объема вычислений. Поэтому вычислить для конкретной системы сигналов (кодов) не представляется возможным. Однако, как показал Шеннон, можно вычислить среднюю вероятность ошибки ансамбля систем связи, каждая из которых состоит из передатчика, канала и оптимального приемника:

Для канала с аддитивным белым гауссовским шумом при приеме по максимуму апостериорной вероятности зависит лишь от евклидова расстояния между и :

хсли воспользоваться известной оценкой интеграла вероятности

и усреднить (1.67) по ансамблю, то можно получить

где показатель экспоненциальной оценки, равный

После подстановки (1.68) в (1.66) с учетом того, что получаем следующую верхнюю оценку для средней вероятности ошибки:

где удельная скорость передачи, определяемая как количество бит информации, передаваемое одним отсчетом (в бит/отсчет)

Здесь число независимых отсчетов, отводимых для передачи сигналов на интервале в канале с шириной полосы частот, равной а — коэффициент, зависящий от характеристик канала (для сигналов с ограниченным спектром согласно теореме Котельникова Число отсчетов (символов) обычно называют длиной кодового блока.

Из выражения (1.70) следует, что средняя вероятность ошибки может быть произвольно малой за счет выбора достаточно больших если только удельная скорость передачи меньше предельной скорости

При практических расчетах удобно удельную скорость определять относительно не числа отсчетов, а относительно ширины полосы частот канала, как это и было сделано в § 1.3. Очевидно, имеют место соотношения:

Из выражения (1.69) следует, что для сигналов, состоящих из двоичных последовательностей при величина асимптотически стремится к значению бит/отсчет, что соответствует бит/с (предел Наиквиста). Это означает, что передача двоичными последовательностями не является эффективной Эффективность передачи можно существенно увеличить, если перейти к сигналам, состоящим из -ичных последовательностей. В этом случае общее число сигналов а максимальное значение удельной скорости бит/отсчет (соответственно ).

Средняя вероятность ошибки для систем, использующих -ичные сигналы (коды с основанием также оценивается неравенством (1.70), в которое необходимо подставить

соответствующее значение В общем случае для симметричной системы равновероятных сигналов

Предельное значение удельной скорости характеризует дискретный канал (аналоговый канал вместе с модемом) и, следовательно, зависит от способов модуляции и демодуляции. При может быть достигнута сколь угодно малая вероятность ошибки. Согласно теореме Шеннона произвольно малую ошибку можно получить при где пропускная способность на один отсчет (1.29).

Теорема о пропускной способности сильнее в том смысле, что Однако, зная можно определить верхнюю оценку вероятности ошибки как функцию Знания же только для этого недостаточно. Более точная оценка помехоустойчивости (вероятности ошибки) определяется соотношением

где так называемая функция надежности, положительная при и равная нулю при — коэффициент, медленно меняющийся с ростом

В современных системах связи широко используется цифровая обработка принимаемых сигналов. При такой обработке операция интегрирования заменяется цифровым накоплением (суммированием) квантованных отсчетов сигнала на выходе приемника. В простейшем случае квантование осуществляется на два уровня, по которым в демодуляторе принимается решение («жесткое» решение). Такой прием эквивалентен поэлементному, если число статистически независимых отсчетов сигнала совпадает с числом его составляющих двоичиых элементов. По сравнению с приемом целом» при поэлементном приеме энергетический проигрыш составляет т. е. около [11]. Таким образом, жесткое решение оказывается слишком грубым и не обеспечивает необходимого согласования систем модуляции и кодирования. Принятием решения не по двум, а по большему числу уровней квантования выходного сигнала («мягкое» решение) потери за счет цифровой обработки можно существенно снизить. Оптимизацию канала с учетом квантования выходного сигнала также удобно производить по максимуму удельной скорости (см. § 4.6).

Экспоненциальная оценка вероятности ошибки справедлива не только для систем со случайным кодированием для которых она была получена. Можно показать, что она справедлива и для реализуемых кодов, в частности для кодов с проверкой на четность, двоичных сверточных кодов [27]. Так, для сверточных кодов с последовательным декодированием в двоичном симметричном канале средняя вероятность события,

аналогичная средней вероятности ошибки декодирования, определяется следующим неравенством

где

V — кодовое ограничение.

Сложность кодека, как известно, определяется в основном сложностью декодера. При этом под сложностью обычно понимают число вычислительных операций, необходимых для декодирования одного бита (или кодового слова), и объем оперативной или буферной памяти.

Совершенно очевидно, что сложность системы декодирования зависит от отношения чем ближе это отношение к единице, тем сложнее система. Для рассматриваемых сверточных кодов сложность, определяемая средним числом вычислений декодера на один бит, ограничена неравенством

Итак, мы убеждаемся, что удельная скорость передачи является весьма содержательной характеристикой СПИ. Максимальное значение этой скорости позволяет вычислить вероятность ошибки декодирования при заданной скорости передачи и определить вычислительную сложность системы В. Зная сложность системы, легко можно перейти к оценке экономических показателей (стоимости или приведенных затрат) на основе известной методики [39], рассмотренной в § 1.2.

Следует заметить, что критерий максимума удельной скорости является достаточно общим, из которого как частный случай вытекает традиционный критерий минимума ошибки. Действительно, в системах без кодирования при заданном способе модуляции и при одинаковом объеме входного и выходного алфавита согласно определений (1.24) и (1.25) максимуму удельной скорости у соответствует максимум принимаемой информации или минимум потерь информации в канале Критерий же максимума взаимной информации как видно, из (1.25), совпадает с критерием максимума правдоподобия, а последний — с критерием минимума ошибки.