8.1. Произвольная связь. Решение методом возмущений

Пусть в волнододе распространяется рабочая волна с индексом 1. Преобразование в другие волны мало, так что можно определять связь с каждой из них в отдельности. Кроме того, для простоты изменение эллиптичности будем рассматривать без скрутки и считать, что изгибы оси происходят в одной плоскости.

Чтобы записать систему (5.13) в виде, не содержащем диагональных членов, перейдем от комплексных амплитуд к приведенным амплитудам

Подставляя (8.1) в (5.13), получаем искомую форму записи:

где

Решение ищем в виде суммы

где верхний индекс обозначает порядок малости данного члена. Параметром малости в данной плоской задаче, например о преобразовании волн из-за пульсации диаметра, является скорость изменения т. е. первая производная Очевидно, что коэффициенты связи имеют первый порядок малости по этому параметру.

Подставляя (8.3) в (8.2) и приравнивая члены одинакового порядка, получаем:

откуда:

где амплитуда волны в начале линии.

Пусть поле на входе содержит волну рабочего типа единичной амплитуды; для Простоты считаем, что амплитуды остальных волн равны нулю. Концевые условия при таком возбуждении имеют вид

Подставляя условия (8.6) в (8.5) и переходя от приведенных амплитуд к полным, получаем выражения

позволяющие определить амплитуду рабочей волны в конце линии, что является основной задачей, и амплитуды паразитных волн, возникающих в линии из-за преобразования на нерегулярностях внутренней поверхности.

Попытаемся найти приближенное решение (8.7), исходя из представления слабонерегулярного волновода виде предела кусочно-однородных линий (слоистая среда). Разделим весь волноеод на небольшие участки плоскостями, перпендикулярными его оси. Будем считать, что свойства волновода на каждом участке меняются очень мало.

Рассмотрим различные пути формирования рабочей волны.

Путь первый: при распространении волны по волноводу ее комплексная амплитуда изменяется от единицы до

Формула (8.9) получается как предел произведения

которое приближенно описывает процесс распространения плоской волны в слоистой среде, где ее свойства медленно меняются вдоль пути распространения.

Путь второй: до слоя, расположенного в сечении распространяется, рабочая волна В указанном слое эта волна характеризуется амплитудой

затем возникает паразитная волна. Согласно определению коэффициента связи амплитуда возникающей волны равна произведению амплитуды падающей волны на

От слоя до слоя волна распрост раняется с амплитудой

На участке возникает первая волна, которая в конце волновода имеет вид

Теперь просуммируем полученную элементарную амплитуду первой волны по всем слоям; в результате интегрирования поправка к (8.9) имеет вид

причем интеграл является пределом двойной суммы, которую здесь выписывать не будем.

Полученный результат справедлив для двойного преобразования, т. е. преобразования из рабочей волны в паразитную и обратно. Паразитных волн может быть несколько. Эффект воздействия каждой из них на рабочую волну мал, поэтому по правилу аддитивности

малых воздействий требуется просуммировать (8.10) по всем нежелательным волнам. Решение (8.7) получается при сложении этой суммы с (8.9). Аналогичным путем можно определить амплитуды паразитных волн получить (8.8).

Приведенный способ решения нагляден и соответствует реальным путям формирования полей в слабонерегулярных волноводах. Все другие пути приводят только к малым поправкам и здесь не рассматриваются. В решении предполагается, что при распространении волны любого типа до нерегулярного участка и между такими участками ее амплитуда меняется только за счет омического затухания. Такое предположение справедливо, так как преобразование волн уменьшает их амплитуду на величину второго порядка малости. Исключение волноводы, где существует регулярная связь между близкими к вырождению волнами. Примером служит слабоэллиптичный волновод, в котором связаны поляризационно вырожденные волны типа

Возводя в квадрат модуль (8.7), определим мощность рабочей волны на выходе:

где

— потери на преобразование в волну, причем согласно предположению о малости возмущения Потери мощности рабочей волны, выраженные в неперах, равны сумме омических потерь и потерь на преобразование:

Чтобы перейти от потерь в неперах к потерям в децибелах, следует первые умножить на числовой коэффициент 4.34.

Потери (8.12) обусловлены преобразованием в прямые волны. Потери, возникающие при преобразовании в обратные паразитные волны, характеризуются выражением

Из сравнения (8.12) и (8.14) видно, что потери на преобразование в обратные волны существенно меньше потерь на преобразование в прямые. Это объясняется тем, что, во-первых, на высоких частотах коэффициенты связи рабочей волны с обратными волнами во много раз меньше, чем, коэффициенты связи с прямыми. Во-вторых, и это наиболее существенно, интерференция элементарных волн, возникающих из-за преобразования рабочей волны в обратные волны и снова в рабочую, происходит таким образом, что они взаимно гасят друг друга. Это обусловлено тем, что под интегралом в (8.14) стоит быстропеременная периодическая функция, тогда как в (8.12) период подынтегральной функции намного больше и элементарные волны успевают сложиться почти в фазе.

В результате в многоволновых волноводах обычно пренебрегают вкладом обратных волн в потери на преобразование и, как правило, исключают обратные волны из рассмотрения.

В полученном решении системы уравнений (8.7), (8.8) связанных волн набег фазы любой волны определяется интегралом Этот интеграл при расчетах слабонерегулярных волноводов заменяют произведением постоянной распространения, усредненной по длине линии, на длину

т. е. набег фазы и затухание считают такими же, как и в регулярном волноводе. Влиянием деформации стенок при расчете омического затухания обычно можно

пренебречь, поскольку в данном случае важна только относительная погрешность, которая практически всегда порядка очень мала.

Покажем, почему на практике можно пользоваться допущением (8.15). По-видимому, отдельно взятые волноводные секции следует считать статистически независимыми. Поэтому для описания процессов, происходящих в такой случайной среде, как реальный волновод, прежде всего необходимо с достаточной степенью точности определить, как интерферируют волны в отдельной секции. Предположим для примера, что на всей длине секции радиус трубы отличается от номинального на В этом случае фазовый набег волны вычисленный по приближенной формуле, превосходит точное значение на В волноводной трубе, состоящей из нескольких секций, указанная фазовая ошибка не суммируется, поскольку изменения диаметра на длинах в несколько метров имеют различный знак. В результате ошибки в определении фазы частично компенсируются.

Приведенное нестрогое рассуждение позволяет на практике ограничиваться приближенным равенством (8.15).