17. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОТЕРЬ МОЩНОСТИ РАБОЧЕЙ ВОЛНЫ В ПРОТЯЖЕННОМ ТРАКТЕ, РАБОТАЮЩЕМ НА ОДНОЙ ВОЛНЕ

В § 16 введена величина названная погонным коэффициентом потерь мощности рабочей волны. Отмечено, что при создании протяженных трактов следует стремиться к тому, чтобы незначительно отличался от коэффициента омических потерь основной волны поскольку иначе теряются преимущества использования в качестве рабочей волны той, которая имеет наименьшие омические потери. Было установлено, что требование малости потерь эквивалентно требованию преобладания доли мощности рабочей волны в общей мощности, распространяющейся по волноводу. Докажем, что последнее требование выполняется, если существует определенное соотношение между «интенсивностью» возникновения паразитных волн в линии и величиной фильтрации. Если паразитные волны затухают быстрее, чем

возникают на нерегулярностях тракта, то доля мощности рабочей волны на всем протяжении тракта будет преобладающей. Приведем строгую формулировку.

Лемма. Пусть на всем протяжении волноводного тракта выполнено неравенство

где -коэффициент связи волны с основной; — омические потери (в неперах по амплитуде) рабочей и наименее затухающей паразитной волн; число распространяющихся в волноводе волн.

Пусть найдется такая точка для которой

т. е. пусть в каком-либо сечении (например, в начале) мощность основной волны превысит суммарную мощность всех паразитных волн. Тогда и для всех будет выполнено неравенство

Замечание. Поясним смысл условия (17.1). Величины по определению характеризуют «скорость» возникновения паразитных волн на нерегулярностях тракта. Величина характеризует разность скоростей фильтрации паразитных и рабочей волн. Таким образом, согласно неравенству (17.1) паразитные волны возникают в исследуемом волноводе с меньшей скоростью, чем затухают. Физически понятно, что именно при таких условиях не происходит «накопления» паразитных волн при увеличении длины тракта следовательно, доля мощности рабочей волны оказывается преобладающей в любом сечении.

Доказательство леммы. При доказательстве будем использовать метод, предложенный в работе [4.1]. Предварительно выведем несколько необходимых соотношений. Из системы (15.13) находим

откуда с учетом (16.4) получаем

Из (17.4) и (17.5) следует, что

Приступим непосредственно к доказательству леммы. Для простоты положим Доказывать будем от противного. Допустим, что условия (17.1) и (17.2) выполнены, но неравенство (17.3) нарушается. Иными словами, существует такая точка для которой

Тогда, учитывая (17.6) и (17.7), получаем очевидную цепь неравенств:

Сравнивая начало и конец этой цепи, находим, что в точке определенной условиями (17.7), должно выполняться неравенство

что противоречит условию (17.1). Полученное противоречие показывает, что невозможно существование точки для которой выполняются условия (17.7). Следовательно, при условиях (17.1) и (17.2) неравенство (17.3) должно выполняться для любых 20. Лемма доказана.

Следствие. Если выполнено условие (17.1), то погонный коэффициент потерь суммарной мощности (2) и погонный коэффициент потерь мощности рабочей волны совпадают при достаточно больших 2.

Доказательство следствия. Действительно,

Поскольку при выполнении (17.1) выполняется и (17.3), то

что и требовалось доказать.

Замечание. Условие (17.1) является достаточным для справедливости (17.3). Покажем, что оно является и необходимым, т. е. можно указать пример, когда неравенство (17.3) нарушается при нарушении (17.1).

Рассмотрим волновод, в котором могут распространяться лишь две волны — основная и паразитная, причем коэффициент связи между ними является постоянной величиной. Предположим также, что коэффициенты омического затухания у этих волн различны, а фазовые постоянные одинаковые. Можно считать, что такой случай реализуется в цельнометаллическом волноводе (без диэлектрической пленки внутри), изогнутом по дуге окружности (радиуса Рабочей здесь является волна паразитной — волка Коэффициент связи между ними равен где с — постоянная действительная величина, обратно пропорциональная Напишем систему уравнений для амплитуд этих волн:

где

Амплитуды на входе линии обозначим Обозначим также

Решая систему уравнений (17.8), находим выражение

поменяв в котором местами индексы 1 и 2, получаем выражение для

Неравенство (17.1) в данном случае имеет вид

Если выполнены условия то согласно лемме для всех Допустим теперь, что и положим для простоты Величина является при этом мнимой и, следовательно,

Легко видеть, что периодически обращаются в нуль (разумеется, не одновременно!). Итак, в рассматриваемом частном случае при неравенство (17.3) нарушается периодически, независимо от длины линии. Это доказывает необходимость условия (17.1).

Как уже было показано, нарушение (17.3) приводит к значительному увеличению потерь в волноводе. Действительно, согласно (17.12) погонный коэффициент

потерь суммарной мощности и доля мощности рабочей волны при равны соответственно

а

В частности, если волновод имеет диаметр рабочая длина волны а внутренняя поверхность волновода медная, то омические потери рабочей волны откуда

Если же то, как нетрудно получить из 17.10), погонный коэффициент потерь мощности рабочей волны и доля мощности этой волны равны

Согласно (17.14) при уменьшении 621 за счет уменьшения с или за счет увеличения (потери основной волны уменьшаются, приближаясь к омическим потерям При правая часть приближается к предельному значению (17.13): стремятся к

Мощность рабочей волны может периодически полностью преобразовываться в мощность паразитной волны не только тогда, когда фазовые постоянные основной и паразитной волн совпадают.

Допустим, что в системе а постоянный коэффициент связи заменен функцией в первом уравнении и сопряженной, взятой со знаком -функцией во втором уравнении. Нетрудно показать, что решение этой новой системы будет иметь то же вид, что и решение (17.10). но только в выражении для появится дополнительный множитель соответственно Добавление множителя, по модулю

равного 1, не меняет выводов, сделанных при анализе (17.8). Итак, даже при наличии расфазировки между рабочей и паразитными волнами условие (17.1) является необходимым для того, чтобы доля мощности рабочей волны была преобладающей в общей мощности волн, распространяющихся по волноводу: можно привести пример, когда при нарушении (17.1) мощность рабочей волны периодически полностью переходит в мощность паразитной волны. Следует отметить, что, по-видимому, трудно реализовать волновод, в котором коэффициент связи равен такой комплексной величине, как Однако, наверное, может быть реализован волновод, в котором коэффициент связи равен Это волновод, ось которого изогнута по дуге косинусоиды с периодом Аналогичный случай исследован в (2.6]. Показано, что решение соответствующей системы уравнений связанных линий приближенно совпадает с решением системы после замены в ней с на В результате при выполнении условия мощность рабочей волны почти полностью преобразовывалась в мощность паразитной волны, а при выполнении условия доля рабочей волны в общей мощности становилась преобладающей. Итак, для случая при расфазировке между основной и паразитной волной границы допустимых значений разности коэффициентов омических потерь при которых выполняется (17.3), (расширяются по сравнению с (17.1). Требование заменяется менее жестким требованием Однако это расширение границ не очень существенно, и если говорить о порядках величин, то лемма дает правильную оценку соотношения между уровнем возникновения паразитных волн и степенью их фильтрации, обеспечивающего выполнение (17.3).

Рассмотрим один из возможных путей ослабления условия (17.1). В этом условии фигурирует лишь коэффициент омических потерь наименее затухающей паразитной волны (индекс 2). Это связано с тем, что в принципе может существовать настолько сильная связь всех паразитных волн с этой наименее затухающей (на величину и структуру коэффициентов связи паразитных волн между собой не накладываем никаких ограничений), что часть мощности рабочей волны, преобразуемая на каком-либо участке волновода в мощность одной из паразитных волн, интенсивно «перекачивается» затем в наименее затухающую паразитную волну. В результате почти вся мощность в волноводе распределяется между основной рабочей и наименее затухающей паразитной волной, причем эффективный коэффициент связи между этими двумя волнами имеет порядок Именно поэтому в общем случае сумма по всем паразитным волнам сравнивается с разностью коэффициентов омических потерь наименее затухающей паразитной и рабочей волн. Заметим теперь, что если в волноводе может распространяться всего две волны, то условие (17.1) записывается как Таким образом, требования к величине коэффициента связи ослабляются при увеличении фильтрации паразитной волны. Допустим, что в волноводе может распространяться несколько волн, но связь между паразитными волнами имеет тот же порядок малости, что и связь между основной и паразитными

волнами. Приведенные рассуждения позволяют в этом случае условие (17.1) заменить на следующее:

Таким образом, определены условия, обеспечивающие преобладание доли мощности рабочей волны в общей мощности волн, распространяющихся по волноводу. При этом ожидается, что потери мощности основной волны (включая потери на преобразование) будут близки к ее омическим потерям. Величина погонного коэффициента потерь основной волны определяется с помощью следующей теоремы.

Теорема. Если выполнено условие (17.1), то

где -константа, не зависящая от и имеющая порядок

Замечание 1. Наиболее важным свойством константы К является ее независимость от 2. Неравенство (17.15), где К может зависеть от справедливо, очевидно, для любого волновода.

Замечание 2. Физический смысл теоремы состоит в следующем.

Если выполнено условие (17.1), то погонный коэффициент потерь основной волны в протяженном тракте с точностью до членов порядка включительно равен

где

т. е. имеет такой же вид, как погонный коэффициент потерь мощности рабочей волны в коротком тракте с тем отличием, что величины могут быть здесь намного больше единицы.

В частности, потери мощности рабочей волны на преобразование во все паразитные волны равны сумме парциальных потерь на преобразование в отдельные паразитные волны

Доказательство теоремы не очень сложно, но содержит много математических выкладок [4.2]. Поэтому его опустим и приведем здесь лишь оценку константы К из (17.15). Оказывается, что можно положить

где

Можно несколько упростить эту оценку, сделав ее более грубой. Заметим, что Поэтому

Здесь коэффициент характеризует суммарную связь рабочей волны со всеми паразитными, а коэффициент суммарную связь паразитной волны с

остальными паразитными волнами. Если выполняется (17.1), то можно записать как

где

Если считать, что все имеют примерно тот же порядок, что и то

Разумеется, оценки (17.17), (17.20), (17.22) эффективны лишь, если Иначе оценка отклонения от его приближенного значения в (17.15) является слишком грубой, т. е. имеет тот же порядок, что и само это значение.

В частном случае двухволнового волновода из (17.22) следует, что

Из (17.4) нетрудно получить грубую, но достаточно эффективную оценку для потерь рабочей волны:

Интересно отметить, что общая оценка (17.24) потерь мощности рабочей волны в многоволновом волноводе при приближается к выражению (17.14) для потерь мощности рабочей волны в двухволновом волноводе с постоянной связью между рабочей и паразитной волной.

При оценка (17.24) существенно отличается от (17.14), в котором множителем при является Однако это отличие вызвано недостатком грубой оценки (17.24). Отличие суммарных потерь мощности рабочей волны от омических, т. е. разность как следует из теоремы, имеет на самом деле порядок

Перейдем к определению структуры поля в протяженном волноводе, удовлетворяющем условию (17.1). Сначала рассмотрим регулярный волновод, в котором отсутствует связь между собственными волнами. При достаточно большой длине волновода поле в сечении

примерно совпадает с полем рабочей волны, амплитуда которой равна где - начальная амплитуда. Относительная доля мощности рабочей волны, усредненная по всей длине волновода, неограниченно приближается к 1 при увеличении 2, а доли мощности паразитных волн стремятся к нулю. Для нерегулярного волновода, как следует из леммы, и согласно (16.9) и (17.16) можно записать

откуда

Так как потери мощности рабочей волны на преобразование в паразитные отличны от нуля (волновод нерегулярный), то, по крайней мере, некоторые из чисел также отличны от нуля и не стремятся к нулю при увеличении . Следовательно, потери мощности соответствующих паразитных волн в среднем совпадают с потерями рабочей волны. Действительно, если бы мощность волны в нерегулярном волноводе убывала как то доля стремилась бы к нулю при Поскольку этого не происходит, убывает в среднем (пока не приводим точного выражения) так же, как и рабочая волна. В частности, можно сделать интересный вывод: если потери мощности рабочей волны увеличиваются в нерегулярном волноводе по сравнению с потерями в регулярном, то потери мощности паразитных волн уменьшаются, становятся меньше их омических потерь. Однако структура поля в волноводе при выполнении (17.1) незначительно отличается от структуры поля рабочей волны.

Оценим долю мощности паразитных волн в таком волноводе. Из (17.25) нетрудно получить неравенство

правая часть которого имеет порядок и при выполнении (17.1) намного меньше 1. Можно привести оценку суммарной доли мощности паразитных волн и снизу, т. е.

Оценка (17.27) не всегда эффективна, так как понятие наиболее затухающей паразитной волны (номера часто бывает неопределенным (если учитывать волны, близкие к критическим). Здесь выражением, дающим действительную информацию, по-видимому, является (17.26)

Итак, в протяженном нерегулярном волноводе, удовлетворяющем условию (17.1), мощность собственных волн имеет следующий вид:

где - потери основной волны; некоторые коэффициенты.

Определенные формулой (16.6) числа в этих обозначениях равны

Поскольку, как уже отмечалось, отличны от нуля (по крайней мере некоторые) и не убывают с увеличением то примерно теми же свойствами обладают икоэффициенты Из них важнейшим является то, что не убывают при хотя могут, по-видимому, в отдельных точках достигать очень малых значений.