12.2. Изменение Qj(z) в полосе частот

Исследуем, как меняется величина потерь на преобразование для одной конкретной линии из совокупности при небольших (несколько процентов) перестройках рабочей длины волны К в интервале Величину рассматриваемую как функцию при фиксированных и X, можно считать реализацией некоторого случайного процесса. Основными характеристиками случайного процесса являются среднее значение, дисперсия и функция корреляции. Вычислим эти характеристики. Предварительно сделаем ряд упрощающих предположений.

Во-первых, в выражении для будем учитывать зависимость от лишь величины Зависимость коэффициентов связи и коэффициентов омических потерь от не будет влиять на последующие оценки.

Во-вторых, в соответствии с результатами п. 11.5, будем считать, что среднее значение потерь в

рассматриваемом узком интервале длин волн не зависит от

С учетом сказанного очевидно, что среднее по совокупности значение во всем интервале перестройки постоянно, т. е.

Целесообразно сравнить среднее по совокупности линий значение с результатом усреднения величины для одной линии, но по всему диапазону перестройки Обозначим

Если известен график функции (рис. 3.1), то геометрически величина определяется как ордината при которой сумма площадей заштрихованных областей, лежащих выше прямой равняется сумме площадей заштрихованных областей, лежащих ниже прямой

Рис. 3.1. Частотная зависимость потерь на преобразование в слабозатухающую волну.

Величина в соответствии с законом больших чисел при достаточно больших значениях почти совпадет со средним по совокупности линий следовательно, ее можно использовать для оценки

Оценим более точно степень близости этих средних значений. Поскольку первое из них случайно меняется на ансамбле статистических однородных линий, то можно дать лишь статистическую оценку близости.

Одной из наиболее распространенных оценок является средний квадрат разности двух исследуемых величин: Вычислим его для рассматриваемого случая. Приведем подробный вывод, аналогичные которому в дальнейшем будем опускать. С учетом (12.1) имеем

где Для упрощения записи обозначим также полагая без ограничения общности, что

Для нахождения искомой среднеквадратичной разности необходимо знать четвертые моменты для коэффициентов связи

Будем предполагать (без существенного ограничения общности), что является гауссовой случайной функцией. Тогда ее четвертые моменты выражаются через функцию корреляции:

При условии (12.6)

Заменяя переменные и беря затем интеграл по переменной находим выражение для

заменяя в котором на получаем выражение для

Заменяя переменные изменяем порядок инггегрирова-ння во внешнем двойном интеграле, и, заменяя последнее выражение для преобразовываем к виду

Отсюда при [см. (11.6)] и получаем

где определена равенством (11.21). Согласно п. 11.4 пропорциональна спектральной плотности случайного процесса, характеризующего такую нерегулярность внутренней поверхности волновода, на которой возникает паразитная волна. Прн незначительных перестройках частоты (единицы процентов) практически всегда можво считать, что пространственный спектр нерегулярности постоянен в диапазоне Учитывая последнее, а также формулу (11.22), получаем

Аналогичная оценка интеграла показывает, что он ограничен при больших следовательно, при и

Суммируя полученные оценки можно записать

Для пространственного случая правая часть (12. 7) уменьшается в 2 раза.

Для сравнения укажем, что, как следует из (12. 3), среднеквадратичное отклонение (дисперсия) (без усреднения по интервалу перестройки) от равно

Таким образом, дисперсия усредненной по диапазону величины раз меньше дисперсии

величины соответствующей фиксированной точке интервала перестройки. Как правило, если длина тракта многоволновых волноводов имеет порядок десятка метров, а величина интервала перестройки — порядок единиц процентов от центрального значения длины волны, отношение имеет порядок Для таких трактов практически можно считать, что в результате усреднений величины как по совокупности статистически однородных трактов, так и по интервалу перестройки для какого-либо одного фиксированного тракта получаются одни и те же значения:

Продолжим анализ как функции

Важнейшей статистической характеристикой такой функции является ее функция корреляции

Расчет, аналогичный приведенному, показывает, что функция корреляции зависит только от разности

причем

где Формула (12.10) справедлива и для пространственного случая.

Таким образом, случайная функция аргумента является стационарной. Ее статистические свойства не меняются на всем интервале перестройки, что существенно облегчает анализ.

Обозначим, например, через разность Из определения следует, что среднеквадратичное значение определяется по формуле

В частности, используя (12.10), получаем

Для пространственного случая правые части двух последних формул уменьшаются в раз.

Формулы (12.12) позволяют качественно проанализировать поведение как функции на отрезке Действительно, при достаточно малых величина как и любая гладкая функция, меняется по линейному закону:

или

Согласно (12.12) область изменения в которой можно считать такое представление для справедливым, определяется требованием поскольку именно в этом случае среднеквадратичнсе значение линейно зависит

При увеличении до такой величины, при которой значение функции корреляции становится весьма малым и, следовательно, статистическая связь между практически исчезает. Изменение на всем интервале является случайным, неопределенным.

Исследуем более подробно поведение в таком большом интервале перестройки. Предположим, что величина имеет порядок нескольких единиц или десятков. Обозначим через сумму длин тех частей интервала перестройки, для которых отнесенную к общей длине этого интервала. Из теории вероятностей известно, что для стационарного процесса при достаточно длинном интервале перестройки

[в рассматриваемом случае величина интервала обусловлена требованием ] справедливо равенство

где определено в (12.3) и (12.5) соответственно для плоского и пространственного случаев; среднее значение по многим трактам — математическое ожидание.

Обозначим теперь через число пересечений кривой уровня при меняющейся в пределах интервала перестройки. Для нахождения среднего значения необходимо знать совместное распределение и ее производной Проведенные оценки показывают, что без большой ошибки можно считать эти две величины статистически независимыми в области значений не очень близких к нулю, а производную распределенной по гауссовому закону. В этом случае

где

плотность вероятности для величины т. е. производная

Пользуясь формулами (12. 3), (12. 5) и (12. 12), получаем

для плоского случая;

для пространственного случая.

На основе полученных результатов можно дать качественный анализ поведения как функции Следует отметить, во-первых, что т. е. сумма

длин участков интервала перестройки, где меньше среднего что почти то же самое, среднего примерно в два раза превышает сумму длин участков, где больше этого среднего. Итак, основания фигур, лежащих ниже прямой в среднем больше, чем основания фигур, лежащих выше этой прямой (см. рис. 3.1). Поскольку площади фигур, расположенных выше и ниже средней прямой, должны равняться друг другу, высоты фигур в верхней части рисунка должны быть в среднем больше высот фигур в нижней части рисунка. Кроме того, из (12. 14) и (12. 15) следует, что нижние фигуры более сильно изрезаны, чем верхние (число пересечений кривой уровня увеличивается с уменьшением Приведенный на рис. 3. 1 примерный график функции построен с учетом полученных теоретически свойств этой функции.