18. СВОЙСТВА ПОТЕРЬ РАБОЧЕЙ ВОЛНЫ В ПРОТЯЖЕННОМ ТРАКТЕ СО СЛУЧАЙНЫМИ НЕРЕГУЛЯРНОСТЯМИ

В § 17 исследован протяженный волновод с Произвольными нерегулярностями. Рассмотрим теперь важнейший частный случай: протяженный волновод, нерегулярности которого меняются случайно по длине, причем их ожидаемые статистические свойства являются одними и теми же для любого сечения. Следовательно, будем рассматривать нерегулярности, которые можно описать случайным стационарным процессом. Будем считать, как и в § 17, что выполняется условие (17.1).

Следует отметить, что результаты данного параграфа относятся не к одному фиксированному волноводу, а к совокупности волноводных трактов, нерегулярности которых имеют одинаковые статистические свойства.

Вначале исследуем асимптотические свойства погонного коэффициента потерь. Согласно (17.16) погонный коэффициент потерь основной волны равен

где фиксированная величина (независящая от величины случайно меняются как с изменением так и с изменением несущей частоты. Свойства этих величин подробно изучены — в § 12, 13, в которых не использовалась малость Если предположить, как и в § 17, что для всех паразитных волн то согласно (14.3)

где средний погонный коэффициент потерь на преобразование основной волны в паразитную, который выражается, как и для коротких трактов, формулой (11.7).

Таким образом, средний квадрат разности между погонными потерями и их средним по совокупности

трактов значением неограниченно уменьшается при увеличении длины тракта. В частности, для среднего по совокупности трактов значения справедливо соотношение

В дальнейшем будем обозначать

Можно доказать также, что не только среднее значение но и величина при увеличении неограниченно приближается к х, для любого тракта из совокупности трактов с одинаковыми статистическими свойствами, т. е. можно доказать, что с вероятностью 1 справедливо предельное соотношение

Следует отметить, что соотношения (18.1) и (18.3) в общем случае не эквивалентны. Может получиться так, что даже при выполнении (18.1) для какого-то относительно небольшого и уменьшающегося с увеличением количества линий разность все время остается достаточно большой. На среднее по всем линиям значение квадрата этой разности такие аномалии влияют слабо, но в ансамбле всегда существуют линии, погонные потери в которых могут значительно отличаться от среднего значения. Можно также показать, что в общем случае из (18.3) не следует (18.1). Однако врассматриваемом случае указанные недостатки отсутствуют, и соотношения (18.1) и (18.3) одновременно справедливы, что строго доказано работе [4.2].

Итак, асимптотические (при очень больших значениях свойства погонного коэффициента потерь в протяженном волноводе со случайными нерегулярностями изучены. В качестве одного из следствий укажем, как упрощается формула (17.26), дающая оценку доли мощности паразитных волн в

волноводе, усредненной по всей длине волновода. Из соотношения (18.3) следует, что при может быть преобразована к следующему виду:

Более подробно структура поля в протяженном волноводе со случайными нерегулярностями исследована в работе с применением достаточно сложного аппарата теории вероятностей. Здесь приведем лишь основные качественные результаты.

Мощности собственных волн в протяженном волноводе со случайными нерегулярностями при весьма общих допущениях можно записать в виде [ср. (17.28)]:

где погонный коэффициент потерь является случайной величиной (случайно меняется при перестройке длины волны или при изменении длины), имеющей нормальную плотность распределения вероятностей. Среднее значение и дисперсия этого распределения определяются из некоторых интегральных уравнений. При выполнении (17.1) параметры распределения совпадают с теми, которые можно получить, используя теорему из § 17 {см. далее (18.8), (18.9)]. Коэффициенты также являются случайными величинами, но их закон распределения перестает зависеть от при при больших становятся стационарными функциями В частности, могут стремиться и к некоторым константам и тогда что следует из общей формулы (17.29).

Знания величины погонных потерь, а тем более асимптотической их величины часто оказывается недостаточно, если требуется определить полные потери мощности рабочей волны Действительно, из (183) следует, что

где знак со означает, что отношение правой части (18.6) к левой части близко к единице. Однако, поскольку - потери, выраженные в неперах (или в децибелах), требуется такая оценка, при которой не только отношение правой и левой частей близко к 1, а разность этих частей близка к нулю. Для получения такой оценки следует вернуться к теореме (§ 17), которая дает, хотя также приближенное, но более точное выражение для полных потерь, чем соотношение (18.6). Напомним, что в соответствии с этой теоремой [см. формулу (17.16)]

Следует отметить, что при исследовании статистических свойств величин (§ 12—14) не учитывалась их малость. Поэтому результаты, приведенные в § 12—14, полностью применимы и к. данному случаю. По-видимому, не будет большим ограничением, если для упрощения выкладок все паразитные волны считать -щими Кроме того, поскольку реальные протяженные тракты удовлетворяют условиям пространственного случая (см. п. 11.7), будем приводить формулы, соответствующие именно этому случаю. В соответствии с результатами § 14, величина на ансамбле статистически эквивалентных трактов или на ансамбле различных несущих частот для одного фиксированного тракта имеет нормальное (гауссово) распределение вероятностей со средним значением

и дисперсией (средним квадратом отклонения от среднего значения)

Таким образом, плотность распределения вероятностей для потерь основной волны в протяженном тракте определяется выражением

которое, как в § 12—14, можно использовать для оценки частотной изрезанности потерь в протяженном волноводе. Например, относительная доля длин тех частей частотного интервала, для которых равна

где интеграл вероятностей

В формулах § 18 единственными параметрами, зависящими от статистических свойств нерегулярностей волновода, являются средние значения потерь на преобразование рабочей волны в паразитные волны. Для нахождения этих значений в общем случае не обязательно измерять потери на преобразование во всем протяженном тракте. Если можно считать, что исследуемый протяженный тракт состоит из набора более коротких отрезков с одинаковыми статистическими свойствами, то достаточно найти среднее значение потерь этим, более коротким, отрезкам. Таким образом, принципиально возможно оценивать свойства потерь в протяженных волноводах по результатам лабораторных исследований (см. § 23).

В заключение еще раз остановимся на вопросе о возможностях ослабления условия (17.1). В общем случае, как показано в § 17, замена условия (17.1) на условие вида неосуществима, поскольку нерегулярности волновода могут быть периодичными с периодом, равным длине волны биений между рабочей и одной из паразитных волн. Если же выделить класс волноводов, в которых такие или любые другие периодические нерегулярности в явном виде отсутствуют, то искомая замена условия (17.1) может быть проведена. Хорошей моделью волновода с отсутствием периодичности является волновод со случайными нерегулярностями, беспорядочно расположенными по его длине. Рассмотрим такой волновод. Обозначим

Если выполняется (17.1), т. е. если (с учетом принятого обозначения) то справедлива теорема § 17 и согласно (18.4) можно записать

где доля мощности рабочей волны в общей мощности, усредненная по всей длине волновода.

Обозначим через отношение Можно показать, что если то следовательно, Однако если то, вообще говоря, неизвестно, будет ли Сформулируем следующую гипотезу.

Для того чтобы в протяженном волноводе со случайными стационарными нерегулярностями сумма — определяется формулой (11.7)] представляла собой погонные потери основной волны на преобразование в паразитные волны [т. е. для справедливости (17.16)], достаточно выполнения условия

При этом одновременно с (17.16) справедлива и оценка (18.12).