13. ВЛИЯНИЕ СИЛЬНОЗАТУХАЮЩИХ ПАРАЗИТНЫХ ВОЛН

Напомним, что паразитную волну мы называем сильнозатухающей, если

т. е. если ее омические потери на длине тракта значительно превосходят омические потери рабочей волны.

13.1. Изменение Qj(z) на ансамбле линий

Как и в § 12, начнем с исследования свойств потерь на преобразование рабочей волны в сильнозатухающую волну в плоском случае. При этом согласно (11.7)

Рассмотрим изменение на ансамбле статистически однородных линий. Как уже было показано, среднее значение этой величины определяется выражением (11.18).

Вычислим следующую основную статистическую характеристику ее дисперсию Для этого необходимо зиать четвертые моменты для коэффициентов связи:

Как и в § 12, предположим, что является гауссовым процессом; тогда будет выражаться через функцию корреляции

Введем следующее вспомогательное обозначение:

при котором дисперсия равна С учетом условия (12.6) имеем

Поскольку в выражении для можно формально считать, что При этом четырехмерный интеграл также неограниченно увеличивается. Вычислим предел

Применяя правило Лопиталя, получаем выражение

которое после замены переменных приобретает вид

Производя ряд элементарных преобразований (замену переменив, изменение порядка интегрирования и т. д.), можно записать

Как правило, в многоволиовых волноводах величина по крайней мере, на 2—4 порядка меньше, чем Кроме того, согласно Поэтому выражение (13.3) упрощается, т. е.

Итак, дисперсия равна

для плоского случая и в два раза меньше для пространственного.

Заметим, что если величину и нельзя считать пренебрежимо малой, то в результате расчетов, аналогичных приведенным здесь, можно получить следующее выражение для дисперсии справедливое при любых значениях

где

для плоского случая и в 2 раза меньше для пространственного.

Перепишем (13.5) в следующем виде:

При правая часть последнего выражения приблизительно равна 1, т. е. отклонения от

среднего значения отнюдь не малы. При увеличении правая часть становится равной следовательно, отклонения от уменьшаются. Таким образом, величина потерь основной волны на преобразование в сильнозатухающую паразитную волну значительно ближе к их среднему значению, чем в случае слабозатухающих паразитных волн (см. п. 18.1).

Перейдем к анализу более сложных статистических характеристик Рассмотрим закон распределения вероятностей величины на ансамбле статистически однородных трактов. Если волна является слабозатухающей, то можно представить как сумму квадратов двух независимых случайных величин, распределенных по одному и тому же нормальному закону (см. (12.1)]. При увеличении же фильтрации паразитной волны распределение величины как будет показано, приближается к нормальному (с отличным от нуля средним значением). Предположим, что фильтрация паразитной волны на длине тракта настолько велика, что Рассмотрим нормированную величину которую можно приближенно записать как

зависит от значений коэффициентов лишь для Следовательно, случайные величины при можно считать независимыми. Поскольку (но представляет собой как бы нормированную сумму большого числа независимых одинаково распределенных случайных величин и поэтому имеет нормальное распределение вероятностей со средним значением, равным 1, и дисперсией, равной Иными словами, плотность распределения вероятностей для случайной величины равна

(Для пространственного случая в (13.7) надо заменить на

Строго говоря, в выражении для при должен присутствовать нормирующий множитель, при котором Однако поскольку этот множитель при близок к единице, его опускаем. Практически, по-видимому, для справедливости (13.7) достаточно, чтобы произведение или более. Если равно лишь нескольким единицам, то можно только утверждать, что плотность распределения вероятностей для случайной величины представляет собой нечто промежуточное между [случай сильнозатухающей паразитной волны, см. (12.3)] и

[случай слабозатухающей паразитной волны, см. (12.3)].

В дальнейшем будем вычислять такие же, как и в § 12, характеристики величины при условии, что т. е. при условии, что справедливо (13.7). Результаты, полученные в § 12, справедливы для значений не превосходящих Если же значение произведения для какой-либо паразитной волны находится между двумя указанными крайними пределами, то значения характеристик находятся в промежутке между соответствующими значениями, рассчитанными для этих крайних случаев [сказанное справедливо и для фазовой характеристики ].

Заканчивая исследование случайной величины на ансамбле статистически однородных трактов, приведем выражение для вероятности которая представляет собой долю тех линий от общего числа в ансамбле, для которых Принимая во внимание (13.7), получаем

где

— интеграл вероятностей.

Для пространственного случая в (13.9) следует заменить на