3.2. Постоянная связь между двумя волнами

Естественно, зависимость амплитуд связанных волн от не определяется простой формулой (2.2). Чтобы получить приходится решать систему уравнений (3.3).

Начнем исследование связанных волн со случая, когда можно ограничиться учетом взаимодействия двух волн. Будем считать волновод регулярным, все его свойства, в том числе коэффициент связи, не зависящими от продольной координаты. При этом система (3.3) значительно упрощается:

Целесообразно исследовать систему (3.5), поскольку иногда эффективная связь осуществляется только между двумя волнами многоволновой волноводной структуры. В частности, это происходит, если в невозмущенном волноводе волны были вырождены.

Чтобы найти общее решение уравнений (3.5), сначала ищем частное решение в виде подставляя его в

систему уравнений, получаем два алгебраических уравнения, которые имеют ненулевые решения, если детерминант, составленный из коэффициентов, равен нулю. Получается вековое или характеристическое уравнение

решение которого дает два значения у.

Общее решение представляет собой суперпозицию волн

где постоянные интегрирования.

Полученные формулы можно объяснить следующим образов: регулярное возмущение волновода превращает нормальные волны идеального тракта в связанные. В возмущенном волноводе, в свою очередь, есть нормальные волные , на которые и распадается каждая связанная волна. Волны не искажаются при передаче по волноводу, в котором распространяются связанные волны Другими словами, в волноводе с регулярной, не зависящей от координаты связью существуют собственные нормальные волны, причем любая связанная волна, амплитуда которой сложным образом зависит от может быть представлена в виде суммы нормальных волн. Таким образом, система деформирующихся связанных волн является результатом пространственных биений между нормальными волнами Приведенные выводы справедливы для систем с любым количеством волн при регулярной связи.

Ограничимся важным случаем возбуждения одной из связанных волн. Если в начале волновода вся энергия сосредоточена в первой волне, т. е.

то амплитуды нормальных волн равны

Общее решение уравнения связанных волн имеет вид:

где для удобства введены обозначения

По условию нормировки (2.18) мощность, переносимая каждой волной, равна квадрату модуля амплитуды.

Обычно для установления связи между пренебрегают зависимостью общей переносимой энергии от продольной координаты на участках волновода, малых по сравнению с длиной волны. Тогда выполняется равенство

Продифференцировав выражение для полной энергии по воспользовавшись затем уравнениями (3.5) и комплексно-сопряженными с ними, получим

Если на длине энергия не меняется, то выражение (3.14) равно нулю, причем это равенство справедливо в любом сечении волновода и, следовательно, от не зависит. Это может быть лишь при условии, что равенство (3.13) выполняется тождественно.

Аналогично из (3.3) можно получить более общее соотношение

строго справедливое при отсутствии потерь. Почти во всех известных случаях оно приближенно выполняется,

однако пользоваться им следует с осторожностью. Существует по меньшей мере один волновод — прямоугольный, в котором волны связаны именно конечной проводимостью стенок и для которого это соотношение не справедливо. При исследовании -волноводов будем считать, что (3.13) характеризует основное свойство коэффициентов связи между волнами.

По-видимому, одной из простых моделей, к которым применима теория связанных волн, является дифракционный преобразователь Примером такого преобразователя является возбудитель волны В таком возбудителе (рис. 1.7) прямоугольный волновод с волной связан с круглым через ряд отверстий в общей стенке.

Рис. 1.7. Дифракционный возбудитель волны

Если фазовые постоянные волн равны, а длина участка связи выбрана правильно, то в конце его вся мощность, переносимая волной перейдет к волне

В дифракционном преобразователе при отсутствии связи волны распространяются в отдельных волноводных трактах. В возбудителе такими трактами являются прямоугольный волновод с волной и круглый с волной . Если пренебречь потерями в элементах связи, то коэффициенты связи оказываются мнимыми и равными друг другу:

На входе преобразователя возбуждается одна из волн, распространяющихся в связанных трактах. Через систему связи происходит обмен энергиями между волноводами, а так как оба волновода являются многоволновыми, то возникает много волн в другом связанном тракте. Из-за слабой связи амплитуды возникающих волн очень малы. Тем не менее, по крайней мере в принципе, можно добиться полного перехода (за вычетом омических потерь) возбужденной волны первого

тракта в одну волну второго. Как уже упоминалось, достаточным условием для этого является совпадение постоянных распространения обеих связанных волн. Покажем это. Если

то и из (3.11), (3.12) и (3.16) следует, что

т. е. мощности волн, переносимых в связанных волноводах, зависят от как (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Распределение мощности в двух связанных линиях; случай вырождения.

Очевидно, что в частном случае двух связанных вырожденных волн энергия первой волны полностью передается второй на длине области связи определяемой выражением

Нетрудно заметить, что это расстояние равно половине длины волны биений между нормальными водками системы из двух волноводов.

Уменьшая длину области связи, можно добиться любого распределения мощности между волноводами. В таких случаях из одной линии в другую передается только часть мощности (направленные ответвители). Ограничив длину области связи величиной получим равенство мощностей в обоих волноводах. Для дифракционного

Преобразователя существенна полная передача энергий. Его длина выбирается в соответствии с соотношением (3.18), т. е. длина области связи ограничивается такой величиной, при которой происходит максимальный переход энергии во вторую волну.

Полное обращение одной из волн в нуль возможно при условии синхронизма фазовых скоростей даже в тех случаях, когда постоянные затухания связанных волн не точно равны. Это нетрудно видеть из соотношений (3.11). Для этого случая решение (3.11) запишем в виде

где

Очевидно, характер решения уравнения связанных волн существенно зависит от соотношения между коэффициентом связи между волнами и разностью постоянных затухания (фильтрацией). Если связь мала по сравнению с фильтрацией, то амплитуда второй волны всегда остается меньше некоторой величины и передача энергии из первой волны во вторую невелика. Наоборот, если

то величина становится мнимой, а амплитуды связанных волн могут периодически обращаться в нуль:

причем нули одной из амплитуд совпадают с локальными максимумами другой. Передача энергии из первой волны во вторую максимальна при условии

заменяющем более частное условие (3.18).

При нарушении синхронизма, т. е. если вырождение связанных волн снято (фазовые постоянные не равны), полной передачи энергии достичь не удается. Действительно, пусть для простоты постоянные затухания связанных волн равны, a . Решение (3.11) в этом случае имеет вид:

где

Таким образом, во вторую волну переходит только часть энергии первой, тем большая, чем сильнее неравенство

В (3.24) разность фазовых постоянных сравнивается с коэффициентом связи. Если разность фазовых постоянных намного больше коэффициента связи, то практически перекачка энергии между волнами отсутствует.