7. ДИАГРАММЫ ТРАНСФОРМАЦИИ В ВИДЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СЕМЕЙСТВ ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ РЕАКТИВНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Определение трансформированных значений произвольных комплексных сопротивлений с помощью диаграммы трансформации реактивных сопротивлений связано с большими неудобствами. Для этой цели применяются более удобные диаграммы.

Прежде всего познакомимся с диаграммами для некоторых простых четырехполюсников, а именно для последовательного и параллельного реактивных сопротивлений (рис. 7.1) и, наконец, для симметричного Т-образного звена.

Рис. 7.1. Последовательное реактивное сопротивление (а), параллельное реактивное сопротивление

Поскольку кругогеометрический способ рассмотрения требует некоторого навыка, то для того, чтобы успешно применить его в дальнейшем, рекомендуется сначала освоить его на етих простых примерах.

Трансформирующие свойства последовательного реактивного сопротивления определяются уравнением

Трансформированное значение получается из параллельным смещением на отрезок Точки (рис. 7.2), расположенные на прямой, параллельной мнимой оси, после трансформации остаются на ней. В этом случае говорят, что каждая из прямых, параллельных мнимой оси, последовательным реактивным сопротивлением отображается сама в себя, или, другими словами, эти прямые смещаются сами в себя. Точки лежащие на прямой, параллельной действительной оси, после трансформации оказываются расположенными также на прямой, параллельной действительной оси. Таким образом прямые, параллельные действительной оси, отображаются на прямые, тоже параллельные действительной оси, однако каждая из них отображается уже не сама на себя, а на другую параллельную ей прямую.

Таким образом, диаграмма трансформации последовательного реактивного сопротивления состоит из двух перпендикулярных друг к другу (ортогональных) семейств

окружностей (рис. 7.2). Семейство состоит из всех возможных прямых, параллельных мнимой оси. Каждая из этих прямых обладает тем свойством, что при трансформации она отображается сама на себя. Семейство II, ортогональное первому, состоит из прямых, параллельных действительной оси. Семейство II отображается само на себя таким образом, что каждая прямая согласно одной из простейших закономерностей отображается на другую прямую того же семейства II. В случае последовательного сопротивления приведенный выше способ рассмотрения представляется весьма обстоятельным. Однако в дальнейшем будет показано, что все другие диаграммы, которые рассматриваются ниже, также состоят из двух ортогональных семейств окружностей, построенных по определенному закону.

Рис. 7.2. Диаграмма трансформации в случае последовательного реактивного сопротивления, состоящая из семейства I всех прямых, параллельных мнимой осн, и из семейства II всех прямых, параллельных действительной оси.

С простейшим применением кругогеометрических законов можно познакомиться на примере диаграммы трансформации параллельного реактивного сопротивления. Круговая трансформация в случае параллельного реактивного сопротивления обозначается равенством или еще более сокращенно символом Целесообразно не отыскивать сразу диаграмму трансформации а действовать последовательно шаг за шагом. Сначала перейдем, как обычно, к проводимостям, т. е. выполним круговое преобразование Это преобразовайие является обращением; обозначим его символом Таким образом, вначале мы отображаем плоскость согласно преобразованию на плоскость (рис. 7.3). Для проводимостей в случае параллельного реактивного сопротивления справедливо выражение

Круговая трансформация, при которой плоскость отображается на плоскость является сдвигом, рассмотренным уже в случае последовательного реактивного сопротивления (рис. 7.2). При повторном обращении

плоскость отображается на плоскость

Таким образом, согласно написанному выше можно представить преобразование в виде

или в виде символов

Круговое преобразование определяется двумя описанными выше ортогональными семействами окружностей (рис. 7.2): семейством I, состоящим из прямых, параллельных мнимой оси, и семейством II, состоящим из прямых, параллельных действительной оси.

Рис. 7.3. Построение диаграммы трансформации параллельного реактивного сопротивления с помощью перехода к проводимостям. Прямым, параллельным мнимой осн в плоскости проводимости, соответствуют в плоскости сопротивления окружности, которые касаются мнимой осн в нулевой точке; прямым, параллельным действительной оси в плоскости проводимости, соответствуют в плоскости сопротивления окружности, перпендикулярные к окружностям первого семейства.

Возникает вопрос, какие кривые в плоскостях соответствуют этим двум семействам.

Переход от плоскости (рис. 7.3) представляет собой обращение

При действительные значения всегда дают действительные значения Точно так же чисто мнимые значения всегда дают чисто мнимые значения действительная и мнимая оси отображаются сами на себя.

Точка дает а точка дает Семейства I и II в плоскостях проходят через точку Следовательно, в плоскости им должны соответствовать окружности, проходящие через точку Окружности семейства I в плоскости а также, следовательно, и соответствующие им окружности в плоскости перпендикулярны к действительной оси, а окружности семейства II — к мнимой. Таким образом, семейство I как в случае плоскости так и плоскости (поскольку переход от плоскости к плоскости также является обращением) соответствует окружностям, проходящим через начало координат и пересекающим под прямым углом действительную ось (так называемые «реактансные окружности»). Семейство же II соответствует ортогональным окружностям, которые проходят через начало координат и перпендикулярны к мнимой оси (так называемые «рези-стансные окружности»).

Если в плоскости взять окружность семейства I (реактансная окружность), то на плоскость посредством обращения она отобразится в соответствующую прямую семейства Преобразование смещает эту прямую и отображает ее саму на себя, а при последующем преобразовании она отображается снова на первоначальную реактансную окружность. Таким образом, при преобразовании каждая из реактансных окружностей, расположенных в плоскости или отображается сама на себя. Из аналогичных рассуждений следует, что семейство II окружностей в плоскости или в плоскости (резистансные окружности) при преобразовании также отображается само на себя, но таким образом, что каждая отдельная резистансная окружность переходит в другую окружность того же семейства.

Для того чтобы найти значение сопротивления трансформированного параллельным реактивным сопротивлением можно поступить следующим образом: через точку (рис. 7.4) проводим реактансную окружность Ко (которая перпендикулярна действительной оси и проходит через начало координат), а также резистансную окружность которая перпендикулярна мнимой оси и пересекает последнюю вблизи точки Тогда точка

изображающая трансформированное значение сопротивления должна, во-первых, лежать на окружности Ко (поскольку окружность Ко переходит сама в себя), а во-вторых, — на резистансной окружности являющейся отображением окружности Так как при сопротивлении нагрузки для схемы рис. 7.1,6 имеем

является той резистансной окружностью, которая проходит через точку

Расчета величин можно избежать при объединении этой диаграммы с диаграммой трансформации реактивных (сопротивлений, поскольку трансформация является трансформацией чисто реактивного сопротивления, что и сделано на рис. 7.4. Элементы диаграммы трансформации реактивных сопротивлений, а именно, перспективные центры и перспективная ось могут быть построены, если известен результат трансформации меньшей мере трех реактивных сопротивлений. В данном случае целесообразнее всего взять сопротивление нагрузки, равное нулю (это значение при трансформации сохраняется), сопротивление нагрузки, равное которое, будучи параллельно соединенным с сопротивлением

Рис. 7.4. Диаграмма трансформации для параллельного реактивного сопротивления состоящая из семейства I всех окружностей, которые касаются мнимой оси в начале координат, и из семейства II всех окружностей, пересекающих мнимую ось в начале координат под прямым углом. Каждая из окружностей семейства I при отображении переходит сама в себя, окружности семейства II — в другие окружности того же семейства. Для определения входного сопротивления соответствующего сопротивлению нагрузки находят две окружности проходящие через точку Точка будет лежать на окружности К» и на окружности являющейся отображением окружности К. По данным для точки пересечения окружности с мнимой осью рассчитывается трансформированное значение которое задает положение окружности Последний расчет можно исключить, если скомбинировать эту диаграмму с диаграммой трансформации реактивных сопротивлений.

дает входное сопротивление, равное и сопротивление нагрузки, равное которое дает входное сопротивление Нанесем эти сопротивления нагрузки, как показано на рис. 7.4, на вспомогательную мнимую ось целесообразно ориентировать параллельно мнимой оси Положения перспективных центров выберем произвольно на прямой, соединяющей оба начала координат. Проведем проекционный луч через центр и точку лежащую на оси и проекционный луч из центра который пересекает мнимую ось в бесконечности, т. е. проходит параллелыно ей. Проекционные лучи пересекаются в точке Затем, троведем проекционный луч из центра к точке на оси параллельно прямой до точки пересечения с проекционным лучом, проходящим через центр и точку на оси Соединив эту точку пересечения, обозначенную буквой с точкой получим перспективную ось Таким образом, диаграмма трансформации реактивных сопротивлений построена. Эта диаграмма (рис. 7.4) может быть использована при любых значениях параллельного реактивного сопротивления. При этом масштаб следует выбирать так, чтобы значение реактивного сопротивления, играющего роль четырехполюсника, соответствовало нанесенной на диаграмме точке

Как ясно из рис. 7.4, отображение, осуществляемое параллельным реактивным сопротивлением, геометрически представляет собой сопровождаемый искажениями поворот (в направлении, указанном стрелкой) правой полуплоскости относительно начала координат, который осуществляется таким образом, что реактансные окружности переходят сами в себя, а резистансные окружности — друг в друга. Чем лучше представит читателе этот «поворот», тем понятнее станет диаграмма.