15. ЭКВИВАЛЕНТЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА С ПОТЕРЯМИ

Граничная окружность или окружность потерь и эквивалентная схема [16]

Предположим, что к выходным клеммам четырехполюсника подключаются различные реактивные сопротивления. Очевидно, что в плоскости комплексных чисел все соответствующие им точки лежат на мнимой оси. Так как трансформации, осуществляемой четырехполюсником, соответствует круговое отображение, то все трансформированные ко входу четырехполюсника значения будут лежать в плоскости комплексных чисел на окружности Окружность или совпадает с мнимой осью, или вся лежит в правой комплексной полуплоскости (рис. 15.1) и лишь в крайнем случае может касаться мнимой оси. Если бы окружность вся или частично лежала в левой комплексной полуплоскости, то должны были бы существовать сопротивления с положительной активной составляющей, трансформированные значения которых имели бы отрицательную активную составляющую. Но это противоречит физическим предпосылкам, относящимся к рассматриваемым здесь четырехполюсникам.

Рис. 15.1. Окружность потерь или граничная окружность Кпот для четырехполюсника с потерями. Она проходит через значения входных сопротивлений, которые соответствуют чисто реактивным сопротивлениям нагрузки.

Если окружность не совпадает с мнимой осью, то четырехполюсник обладает потерями, так как, несмотря на то, что он нагружен на чисто реактивное сопротивление и, следовательно, отдачи активной мощности в нагрузку нет, его входное сопротивление имеет положительную активную составляющую. Следовательно, четырехполюсник потребляет активную мощность.

Четырехполюсник без потерь всегда отображает мнимую ось саму на себя, и наоборот, только тогда можно сказать, что четырехполюсник обладает потерями, если он отображает мнимую ось в окружность лежащую полностью в правой полуплоскости и лишь в крайнем

случае касающуюся мнимой оси (иногда может быть также прямой, параллельной мнимой оси). Если бы четырехполюсник обладал потерями и несмотря на это отображал мнимую ось саму на себя, другими словами, отображал саму на себя всю правую полуплоскость, то согласно основному кругогеометрическому закону 11.1 для четырехполюсника без потерь должен был бы существовать также четырехполюсник без потерь, обладающий в отношении сопротивлений теми же трансформирующими свойствами. Но так как трансформацией сопротивлений в соответствии с формулой (11.4) однозначно определяется также трансформация напряжения и тока, то, если предположить, что первый четырехполюсник обладает потерями, возникает противоречие. Следовательно, сделанное выше допущение несостоятельно.

Таким образом, окружность (рис. 15.1) характеризует потери в четырехполюснике. Поэтому ее называют «окружностью потерь» четырехполюсника. Подключим к данному четырехполюснику поочередно три различных реактивных сопротивления и путем измерения установим, в какие значения они трансформируются. Три значения однозначно определят окружность На практике измерения производятся, разумеется, более чем для трех реактивных сопротивлений Все трансформированные значения должны лежать на окружности Величина отклонения их положения от окружности указывает на степень точности измерений.

Если к четырехполюснику подключить какое-либо полное сопротивление с активной (неотрицательной) составляющей, то его трансформированное значение будет всегда изображаться точкой, лежащей внутри окружности -Следовательно, не существует таких полных сопротивлений (с неотрицательной активной составляющей) и нет таких способов согласования выхода четырехполюсника, при которых входное сопротивление четырехполюсника принимало бы значения, лежащие вне окружности . Поэтому, наряду с названием «окружность потерь», окружность называют также «граничной окружностью» четырехполюсника. Покажем, что с помощью рис. 15.1 для четырехполюсника можно составить простую эквивалентную схему (рис. 15.2,а), которая подразделяется на две части: одну — представляющую собой четырехполюсник без

потерь, и другую — определяющую потери четырехполюсника. Чисто активные сопротивления а также последовательное реактивное сопротивление непосредственно определяются Граничной окружности Точка является той точкой граничной окружности, которая ближе всего расположена к мнимой оси, а точка точкой, которая отстоит от нее дальше всего. Вместо эквивалентной схемы часто бывает целесообразным иметь дело с эквивалентной схемой, изображенной на рис. и вытекающей непосредственно из схемы рис. 15.2,а, если последнюю разделить в точке и ввести в нее последовательно с сопротивление

Рис. 15.2. Эквивалентные схемы для четырехполюсника с потерями. Значения элементов той части эквивалентной схемы, которая определяет потери четырехполюсника, находятся непосредственно из граничной окружности Кпот (рис. 15.1).

Таким образом, четырехполюсник без потерь рис. 15.2, б получается из четырехполюсника рис. 15.2,а в результате добавления к последнему реактивного сопротивления

Целесообразность введения такой эквивалентной схемы объясняется тем, что в большинстве случаев ее частью, определяющей потери, можно первоначально пренебречь и лишь затем использовать последнюю для введения соответствующей поправки. Слотен и Рибнер рассмотренные выше круговые диаграммы для четырехполюсника без потерь применили также и к четырехполюсникам с потерями, не выделяя при этом части схемы, определяющей потери [7, 9 и 10].

Кроме того, как будет показано в § 50, с помощью такой эквивалентной схемы можно легко рассчитать отношение потерь активной мощности в четырехполюснике к общей подводимой к нему активной мощности

Разделение эквивалентной схемы на часть, определяющую потери, и на четырехполюсник без потерь, показанное на рис. 15.2, справедливо только для одной частоты,

Так как активные сопротивления зависят от частоты.

1 Эквивалентную схему (рис. 15.2,а) можно обосновать следующим образом. Рассмотрим сначала круговую трансформацию А для четырехполюсника I, состоящего из сопротивлений Этот четырехполюсник, если только он нагружен на чисто активное сопротивление, всегда имеет входное сопротивление, значение которого лежит на прямой, параллельной действительной оси и проходящей через точку Следовательно, четырехполюсник отображает действительную ось на эту прямую. В случае короткого замыкания на выходных клеммах (сопротивление нагрузки равно нулю) входное сопротивление равно а при холостом ходе равно Мнимая ось характеризуется тем, что она проходит через точки и и перпендикулярна действительной оси в нулевой точке. Следовательно, при круговом отображении А мнимая ось должна давать окружность, проходящую через точки и перпендикулярную в точке прямой, параллельной действительной оси, т. е. должна давать граничную окружность

Внутренняя часть правой полуплоскости при отображении А должна переходить в область, расположенную внутри граничной окружности.

Тогда при обратном по отношению к А круговом отображении граничная окружность исходного четырехполюсника перейдет в мнимую ось и внутренность граничного круга — в правую полуплоскость.

Обозначим через В круговое отображение для основного расположенного ближе к нагрузке четырехполюсника. Рассмотрим свойства кругового отображения, которое получается, если сначала выполнить круговое отображение затем отображение наконец, А, т. е. рассмотрим отображение, которое символически представляется в следующем виде:

Согласно равенству (2.22) оно равносильно отображению Но так как то Отсюда вытекает, что написанное выше круговое отображение идентично отображению В основного четырехполюсника. Исследуем теперь отображение Как установлено из измерений, отображение В переводит правую полуплоскость на внутренность граничного круга Отображение снова переводит внутренность граничного круга на

правую полуплоскость. Таким образом, написанное выше круговое преобразование отображает правую полуплоскость саму на себя. Но согласно закону 11.1 четырехполюсник без потерь II всегда дает отображение Поэтому круговое отображение

можно осуществить с помощью последовательной схемы из этого четырехполюсника без потерь II и четырехполюсника I, которому соответствует круговое отображение А. Этим доказана возможность применения данной эквивалентной схемы.

Трансформирующие свойства части схемы, определяющей потери

Рассмотрим подробнее трансформирующие свойства части схемы, определяющей потери (рис. 15.2). Чисто активному параллельному сопротивлению соответствует диаграмма трансформации, которая получается из диаграммы параллельного реактивного солротивления при повороте ее на 90° (рис. 15.3). Она состоит из семейства I всех окружностей, проходящих через нулевую точку (сплошные линии), которые перпендикулярны мнимой оси (резистансные окружности), и из семейства II всех окружностей (показанных пунктиром), которые в нулевой точре касаются мнимой оси (реактансные окружности). При отображении реактансные окружности переходят в меньшие окружности того же семейства и в соответствии с этим отдельные точки, расположенные на резистансных окружностях, перемещаются вдоль последних.

Рис. 15.3. Трансформирующие свойства параллельного активного сопротивления.

Последовательное активное сопротивление только сдвигает всю правую полуплоскость вправо параллельно самой себе.

Если произвести разделение схемы четырехполюсника так, как это сделано на рис. 15.2,б, то часть схемы,

определяющая потери для четырехполюсников с малыми потерями, т. е. при очень малом и очень большом вызывает лишь небольшое искажение диаграммы трансформации в области значения трансформированного сопротивления на значительном удалении от края). В этом случае четырехполюсник можно рассматривать как неимеющий потерь. Если необходимо получить большую точность или если потери значительны, то для измеренных значений входных реактивных сопротивлений нужно произвести обратное круговое преобразование соответствующее части схемы, определяющей потери, с тем чтобы точно определить входящий в схему четырехполюсник без потерь и его диаграмму

Дополнительные замечания относительно граничной окружности четырехполюсников с малыми потерями

Если четырехполюсник обладает малыми потерями, то его граничная окружность лишь незначительно смещена от мнимой оси. При построении этой окружности на основании результата трех или большего числа измерений способом, описанным выше, достигаемая точность обычно бывает недостаточной. Кроме того, оценка точности измерений путем использования большого числа экспериментальных точек становится невозможной. Связанные с этим обстоятельством затруднения можно устранить, отображая правую полуплоскость на единичный круг и нанося на него вместо измеренных входных сопротивлений сопротивления, соответствующие внутренности единичного круга, которые определяются по формуле

При этом следует определенным образом выбирать действительное значение

Граничной окружностью в этом случае является окружность, лежащая внутри единичного круга (рис. 15.4,а). Если четырехполюсник обладает малыми потерями, то

граничная окружность будет лишь немного отличаться от единичной окружности. Для повышения точности построений развернем единичную окружность в прямую линию и в несколько раз увеличим расстояние от нее до граничной окружности (рис. 15.4, б). Тогда точки граничной окружности будут лежать на кривой, похожей на синусоиду (при малых расстояниях между граничной и единичной окружностями это будет практически синусоида), которой можно придать удобный для вычерчивания вид путем выбора соответствующего масштаба по оси ординат.

Рис. 15.4. Граничная окружность, расположенная внутри единичного круга. В случае четырехполюсников с малыми потерями целесообразно развернуть единичную окружность в прямую линию и расстояния от нее до граничной окружности представить в увеличенном масштабе.

Наоборот, если для четырехполюсника известны три или более полученные из измерений точки граничной окружности, то соответствующая им синусоида (рис. 15.4,б) определяется однозначно. Когда подобные построения делаются часто, целесообразно сделать следующее. Вычерчивается семейство синусоид различной высоты, но с одним и тем же периодом, соответствующим длине единичной окружности. Измеренные точки, через которые должна пройти искомая синусоида, наносят на прозрачную бумагу, и под нее подкладывают чертеж с синусоидальными кривыми. Тогда путем параллельного перемещения можно так расположить измеренные точки на вычерченном семействе кривых, что построение искомой синусоиды не представит труда. Если известны более чем три измеренные точки, то по отклонению отдельных точек от

соответствующей синусоиды можно оценить точность измерений. Наоборот, из синусоиды (рис. 15.4) можно снова получить любую эквивалентную схему (рис. 15.2).

Закон однозначности в случае четырехполюсников с потерями

Из вышеизложенного, а также из § 11 вытекает следующий закон.

Закон однозначности 15.1 для четырехполюсников с потерями

Если дана граничная окружность целиком расположенная в правой комплексной полуплоскости, и произвольное сопротивление или проводимость с произвольным направлением определяемым стрелкой, проведенной из точки а также проводимость внутри граничной окружности и произвольное направление определяемое стрелкой исходящей из то всегда имеется четырехполюсник с этой граничной окружностью, который трансформирует значение и направление в направление При этом трансформирующие свойства четырехполюсника на данной частоте определяются однозначно.