3. ПРИМЕНЕНИЕ КРУГОГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ ПРИ РАССМОТРЕНИИ ТРАНСФОРМАЦИИ, ВНОСИМОЙ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКАМИ

Преимущества, связанные с применением кругогеометрических законов, можно выяснить, рассмотрев конкретный пример. Пусть при измерениях установлено, что четырехполюсник трансформирует значение (сопротивление или проводимость нагрузки) в значение и значение 23 в (рис. 3.1). Требуется определить трансформирующие свойства этого четырехполюсника в общем виде

В данном примере значения следует взять произвольно, для того, чтобы в общем случае пожазать преимущества, связанные с применением кругогеометрических законов, и их применимость. При практических измерениях параметров четырехполюсников значения нагрузки выбирают не произвольные, а наиболее выгодные, благодаря чему приведенные ниже геометрические построения существенно упрощаются. Несмотря на это данный общий случай следует рассмотреть в качестве упражнения.

Искусство решения подобных задач заключается в умении использовать тот факт, что при круговых преобразованиях окружности переходят в окружности, а углы,

направления их отсчета и двойные отношения остаются неизменными. Учитывая это, проведем через три точки однозначно определяемую окружность Ее центром, как известно, является точка пересечения перпендикуляров к серединам отрезков, соединяющих точки Окружность при преобразовании должна дать в плоскости также окружность, которая может быть только окружностью , проходящей через точки Отыщем теперь отображения некоторых характерных точек плоскости Начнем с начала координат.

Рис. 3.1. (см. скан) Трансформация, осуществляемая четырехполюсником. а — плоскость сопротивлений нагрузки четырехполюсника; б - плоскость соответствующих входных сопротивлений. Если из измерений установлено, что четырехполюсник трансформирует помощью геометрических построений для любого сопротивления нагрузки можно определить величину входного сопротивления. мер, можно показать, что короткое замыкание дает входное сопротивление 0» холостой ход дает значения реактивных сопротивлений нагрузки, располагающиеся на мнимой оси, дают входные сопротивления, лежащие на окружности

Для того чтобы найти его отображение на плоскость проведем на плоскости вспомогательные окружности, например, однозначно определяемую окружность проходящую через точки и нуль. Последняя при отображении на плоскость должна дать окружность которая проходит через точки и точку 0, являющуюся отображением начала координат. Окружности пересекающиеся в точке образуют угол а. Этот угол при преобразовании остается неизменным. Поэтому проведем в плоскости касательную в точке к окружности А и отложим угол а в том же направлении, что и в плоскости Направление отсчета угла определяется

на основании следующих соображений. При перемещении от точки к точке по окружности угол в нашем примере оказывается расположенным справа от этой окружности. Поэтому в плоскости при движении от точки к точке угол также должен лежать справа от окружности Итак, окружность, получаемая при отображении окружности должна проходить через точки а прямая проведенная через точку должна быть ее касательной. Таким образом, центр искомой окружности лежит как на перпендикуляре к середине отрезка, соединяющего точки и так и на перпендикуляре к прямой восстановленном в точке

Проведем теперь в плоскости через точки и нуль окружность Соответствующую ей окружность проходящую через точки построим аналогично окружности Начало координат плоскости геометрически однозначно определяется, как вторая точка пересечения окружностей и Поэтому отображением начала координат в плоскости является вторая точка пересечения окружностей Таким образом, найдена точка отображение начала координат плоскости Аналогичным образом можно получить отображение любой другой точки плоскости

В качестве следующей характерной точки плоскости рассмотрим точку отображающую точку плоскости Чтобы найти ее в плоскости проведем прямую через точки Эта прямая может рассматриваться как однозначно определяемая окружность, проходящая через точки подобная любой другой окружности, проведенной через три точки с конечными значениями. Окружность отображающая может быть построена с учетом величины угла аналогично окружности отображающей В качестве второй окружности в плоскости возьмем проходящую через точки прямую которая в плоскости дает окружность Поскольку обе окружности плоскости пересекаются в точке вторая точка пересечения окружностей в плоскости есть точка

Из описанного выше построения точки отображения точки видно, что в круговой геометрии она, по

существу, не отличается точек с конечными значениями. Очень важно, чтобы читатель в этому привык.

После того, как мы нашли точки и соответствующие точкам и в качестве следующей характерной окружности плоскости 2 рассмотрим мнимую ось Согласно рис. 3.1 она геометрически однозначно определяется тем, что проходит через точки и и образует с окружностью угол Исходя из этого, в точке плоскости отложим от окружности в нужном направлении угол и с помощью полученной при этом касательной построим однозначно определяемую окружность проходящую через точки и Последняя является отображением мнимой оси; это означает, что, если на выходе четырехполюсника подключить какое-либо чисто реактивное сопротивление (соответствующее взятому на мнимой оси значению), то на входе четырехполюсника всегда будет получаться полное сопротивление (или проводимость), значение которого лежит на окружности

Так же легко можно получить отображение действительной оси плоскости 2. Действительная ось геометрически однозначно определяется тем, что она проходит через точки и и перпендикулярна мнимой оси. Таким образом, ее однозначным отображением на плоскости является окружность которая проходит через точки и и пересекает окружность под прямым углом.

Итак, найдено отображение осей координат плоскости на плоркость При этом стрелками обозначены положительные направления.

На рис. 3.2 (где все вспомогательные построения для наглядности опущены) показана отображенная на плоскость сетка декартовой системы координат плоскости Прямые, параллельные мнимой оси в плоскости 2, геометрически

Рис. 3.2. Дополнение к рис. 3.1,б. Отображение декартовых координат в плоскости на плоскость Из этой диаграммы для любого значения нагрузки можно определить входное сопротивление.

определяются тем, что они нигде не пересекают мнимую ось, уходят в и (перпендикулярны действительной оси. Поэтому окружности, являющиеся их отображениями на плоскости должны проходить через точку не пересекая окружность, отображающую миимую ось, и касаясь ее только в точке Они должны быть также «перпендикулярными окружности, отображающей действительную ось. Таким образом, каждая из них однозначно определяется и может быть «построена, если известна хотя бы одна из расположенных на ней точек, не лежащая в бесконечности, например точка пересечения с действительной осью. Последнюю можно найти одним из уже описанных способов

Прямые, параллельные действительной оси в плоскости геометрически можно рассматривать как окружности, которые перпендикулярны мнимой оси и уходят в Поэтому окружности, являющиеся их отображением на плоскости проходят через точку и перпендикулярны окружности, отображающей мнимую ось. Для того чтобы построить любую из них, целесообразнее всего в плоскости провести проходящие через нулевую точку биссектрисы углов, образованных осями координат, а в плоскости построить их отображения. Поскольку в плоскости все точки биссектрис одинаково удалены от действительной и мнимой осей, точками пересечения их с прямыми, параллельными мнимой оси, определяется положение соответствующих прямых, параллельных действительной оси.

То же самое можно сказать о точках кривых, получаемых при отображении биссектрис на плоскость

После того, как система координат плоскости отображена на плоскость для каждой точки легко можно найти соответствующую ей точку Таким образом, здесь круговое преобразование представлено геометрически в наглядной форме [11].