13. ТРАНСФОРМИРУЮЩИЕ СВОЙСТВА ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА ПРИ ВЗАИМОЗАМЕНЕ ВХОДА И ВЫХОДА

Описанные выше диаграммы характеризуют трансформирующие свойства четырехполюсника только при включении его в одном определенном направлении. Однако и Трансформирующие свойства четырехполюсника при включении его в обратном направлении, т. е. при взаимозамене входа и выхода, также легко определить из этих диаграмм [1]. При обосновании этого утверждения следует исходить из того, что электромагнитное поле на одной из поверхностей раздела четырехполюсника. расположенной, например, на входе, однозначно определяется электромагнитным полем на другой поверхности раздела. Безразлично, какое электромагнитное поле на входе или на выходе считать за исходное. На рис. 13.1 стрелкой указаны принятые за положительные направления определяющих электромагнитное поле токов и напряжений четырехполюсника. Как уже указывалось желательно, чтобы положительные направления на входе соответствовали передаче активной мощности по направлению к четырехполюснику, а положительные направления на выходе — передаче активной мощности в нагрузку. При этом на входе четырехполюсника стрелка, указывающая положительное направление тока, оказывается ориентированной в сторону четырехполюсника, а на выходе — от него. При взаимозамене входа и выхода направления стрелок следует изменять на обратные. В плоскости В, которая после взаимозамены входа и выхода становится выходной, электромагнитное поле будет таким же, каким оно было бы

Рис. 13.1. Положительные направления напряжений и токов на входе и выходе четырехполюсника (обозначены стрелками). Исходи из этих направлений, можно показать, что если четырехполюсник трансформирует сопротивление в сопротивление то при взаимозамене входа и выхода он будет трансформировать сопротивление — в сопротивление

раньше при подключении сопротивления как в этой точке напряжению теперь соответствует ток 12) что дает на стороне А отношение Из этого следует закон, имеющий общий характер.

Закон 13.1

Если четырехполюсник трансформирует подключённое к нему в качестве нагрузки сопротивление в сопротивление то при взаимозамене входа и выхода он будет трансформировать сопротивление в сопротивление

Переходу от значения к отрицательному значению соответствует в комплексной плоскости поворот на 180° вокруг нулевой точки, следовательно, диаграмма трансформации реактивных сопротивлений для четырехполюсника без потерь при включении его в обратном направлении получается из первоначальной диаграммы путем поворота ее на 180° и соответствующего изменения обозначений.

Физический смысл имеют только сопротивления с положительной активной составляющей. Однако выражение для дробно-линейного преобразования общего вида, соответствующее четырехполюснику, распространяется не только на правую лолуплоекость, .но и на всю плоскость комплексных чисел.

Вследствие этого, закон 13,1 применим к круговому преобразованию, соответствующему четырехполюснику и в том случае, если значения не имеют физического смысла. Диаграммы, изображенные на рис. 12.2, 12.4, 12.5 и 12.6, также можно распространить на левую комплексную полуплоскость. Если дуги изображенных пунктиром окружностей семейства II, (всегда перпендикулярных мнимой оси) продолжить в левую полуплоскость, то очевидно, что там получатся диаграммы, являющиеся зеркальным отражением первоначальных диаграмм относительно мнимой оси. Следовательно, в случае четырехполюсника без потерь круговая трансформация, которая в правой полуплоскости отображает точку в точку в левой полуплоскости будет отображать точку (зеркальное отражение в точку (зеркальное отражение точки при этом значения комплексные сопряженные с Поэтому из закона 13.1 для четырехполюсников без потерь можно получить следующий закон.

Закон 13.2

Если четырехполюсник без потерь трансформирует подключенное к нему сопротивление нагрузки в сопротивление то при взаимозамене входа и выхода он будет трансформировать сопротивление комплексно-сопряженное с в сопротивление комплексно-сопряженное с

Докажем, что в случае диаграммы трансформации в виде ортогональных семейств при взаимозамене входа и выхода на исходной диаграмме достаточно только сдвинуть действительную ось параллельно самой себе таким образом, чтобы фиксированными точками стали точки, значения которых являются комплексно-сопряженными со значениями первоначальных фиксированных точек. Полученная таким образом действительная ось на рис. 12.2, 12.4 и 12.5 изображена жирным пунктиром. Все остальное, например величина и направление отсчета угла поворота, в случае эллиптической диаграммы сохраняется.

Если диаграмма трансформации для четырехполюсника без потерь имеет в качестве фиксированной точки точку то согласно закону 13.2 при включении четырехполюсника в обратном направлении точка переходит в точку Тем самым доказано, что четырехполюсник при обратном включении имеет комплексно-сопряженные фиксированные точки.

Для доказательства рассмотрим различные частные случаи. Пусть точка (рис. 13.2) в случае эллиптической диаграммы является точкой пересечения мнимой оси с прямой, проходящей через фиксированную точку и параллельной действительной оси. Пусть также при трансформации точка переходит в точку и точка в точку Тогда из рис. 13.2 получим следующее равенство:

При обратном включении четырехполюсника ему будет соответствовать эллиптическая диаграмма трансформации с фиксированной точкой в частности, точка будет отображаться в точку Из рис. 13.2 видно, что такое отображение представляет собой поворот на тот же угол и в том же направлении, что и для четырехполюсника при прямом включении. Таким образом, при переносе действительной оси, о котором говорилось выше, первоначальная диаграмма переходит в диаграмму, соответствующую

обратному включению четырехполюсника, с тем же углом поворота и с тем же направлением отсчета этого угла.

В случае диаграммы параболического типа (рис. 12.4) особо следует рассмотреть точку которая отображается в бесконечность, и точку являющуюся отображением бесконечно удаленной точки. Обе эти точки расположены симметрично, т. е. на одинаковом расстоянии от фиксированной точки

Рис. 13.2. Отдельные элементы эллиптической диаграммы трансформации при прямом и обратном включениях четырехполюсника.

Рис. 13.3. Отдельные элементы гиперболической диаграммы трансформации при прямом и обратном включениях четырехполюсника.

Для диаграммы в случае паралдельного сопротивления это очевидно, а всякая другая диаграмма параболического типа отличается от нее только тем, что фиксированная точка не находится в начале координат. В остальном доказательство аналогично доказательству для случая диаграммы эллиптического типа.

В случае гиперболической диаграммы особо рассмотрим точку (рис. 13.3), расположенную на мнимой оси посередине между фиксированными точками ее отображение и точку которая отображается в точку Покажем, что выражения в этом случае также равны, после чего можно повторить все приведенное выше доказательство. Равенства этих выражений докажем с помощью двойного отношения. Так как точка отображается в точку то можно записать следующее равенство:

Так как можно записать

Подставив эти равенства в выражение (13.1), получим

Но последнее соотношение выполняется только, если Таким образом, действительно равно

В частном случае параболической диаграммы для последовательного реактивного сопротивления это остается справедливым и при обратном включении. Для гиперболической диаграммы в частном случае, характеризуемом увеличением всех расстояний от фиксированной точки раз, при обратном включении четырехполюсника, очевидно, получится уменьшение расстояний от точки раз.

Симметричный четырехполюсник характеризуется тем, что при включении его в обратном направлении ему соответствует та же самая диаграмма трансформации. Следовательно, в эллиптическом случае четырехполюсник без потерь симметричен только тогда, когда его фиксированная точка лежит на действительной оси. В параболическом случае симметричными четырехполюсниками являются лишь последовательное и параллельное чисто реактивные сопротивления. В гиперболическом случае четырехполюсник является симметричным, если обе его фиксированные точки расположены симметрично по отношению к действительной оси. Как уже говорилось в § 10, в случаях диаграммы эллиптического типа с действительной фиксированной точкой и диаграммы гиперболического типа с фиксированными точками, симметричными относительно действительной оси, всегда можно построить симметричное Т-звено с соответствующими трансформирующими свойствами. Отсюда, в частности следует, что в случае симметричных четырехполюсников этого типа должно выполняться соотношение (10.11).

Если согласно соотношению

четырехполюсник трансформирует сопротивление (или проводимость) в сопротивление (или проводимость) то при включении четырехполюсника в обратном направлении имеет место трансформация

В самом деле, решив уравнение (13.3) относительно получим

Согласно закону (13.1) при включении четырехполюсника в обратном направлении сопротивлению (проводимости) нагрузки соответствует сопротивление (проводимость) на входе четырехполюсника То же самое выражено формулами (13.4). Если сопротивление (или проводимость) нагрузки обозначить, как обычно, через а сопротивление (или проводимость) на входе четырехполюсника через то получим выражение (13.3).

Из выражений (13.2) и (13.3) следует, что в случае симметричных четырехполюсников всегда выполняется равенство