17. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАНСФОРМАЦИИ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА С ПОМОЩЬЮ ДИАГРАММЫ ТРАНСФОРМАЦИИ ПОЛНЫХ СОПРОТИВЛЕНИИ ИЛИ ПРОВОДИМОСТЕЙ

Трансформация напряжения и тока

Если четырехполюсник без потерь трансформирует сопротивление в сопротивление (рис. 17.1), то согласно условию сохранения активной мощности должно выполняться соотношение

что позволяет сформулировать следующий закон.

Закон 17.1

Квадраты модулей токов на входе и выходе четырехполюсника без потерь обратно пропорциональны действительным частям сопротивлений [1].

Если модуль I] известен, то легко вычислить модуль и наоборот.

Рис. 17.1. К преобразованию последовательной мы в параллельную.

Из значений или определяется напряжение или

Отношение квадратов напряжений можно также определить непосредственно с помощью диаграммы трансформации сопротивлений. Для этого необходимо каждое из сопротивлений представить в виде параллельного включения соответствующего активного сопротивления или и надлежащего реактивного сопротивления, так как в случае четырехполюсника без потерь

Геометрически изображаются точками пересечения с действительной осью окружностей, проходящих через или (реактансные окружности, проведенные через или и касающихся мнимой оси в нулевой точке.

Таким же путем, каким с помощью диаграммы трансформации сопротивлений определяется отношение

отношение можно определить из Диаграммы трансформации проводимостей. Изложенное выше можно сформулировать в виде закона.

Закон 17.2

Квадраты модулей напряжений на входе и выходе четырехполюсника без потерь обратно пропорциональны действительным частям соответствующих проводимостей [1].

Если четырехполюсник обладает потерями, то, как будет показано в § 50, из положения точки, соответствующей значению полного входного сопротивления внутри граничной окружности, можно определить относительные потери активной мощности общая активная мощность, подводимая к четырехполюснику, часть активной мощности, расходуемая в четырехполюснике). Если ввести обозначения то из равенства следуют выражения

На первый взгляд кажется, что полученные здесь правила применимы только к сопротивлениям или проводимостям, имеющим активную составляющую. Однако они применимы также и к чисто реактивным сопротивлениям, так как к последним всегда можно добавить очень малые стремящиеся к нулю активные составляющие. В качестве примера можно рассмотреть четырехполюсник, обусловливающий трансформацию, при которой расстояния от начала координат всех точек полных сопротивлений увеличиваются в раз. Если он трансформирует сопротивление в сопротивление то при достаточно малых значениях и справедливо равенство следовательно,

Приведенный пример является простейшим, в ряде других случаев предельный переход более сложен В таких случаях следует попытаться найти какой-либо другой более удобный путь. Можно, например, применить эквивалентные схемы, использованные в § 12 для обоснования диаграмм, или же Т- и П-образные эквивалентные схемы.

Сдвиг фазы тока

Для определения сдвига фазы тока в четырехполюснике без потерь можно применить эквивалентные схемы, уже использовавшиеся в § 11 (рис. 11.2). Значения отдельных элементов выбираются здесь таким образом, что последовательное реактивное сопротивление трансформирует сопротивление нагрузки (рис. 11.1) в активное сопротивление а трансформатор преобразует сопротивление в сопротивление

Симметричное Т-звено составлено так, что значение для него является фиксированной точкой, а указывающая направление, исходящая из точки стрелка параллельная стрелке поворачивается на угол а, принимая направление параллельное стрелке проведенной из точки Наконец, реактивное сопротивление трансформирует значение в значение В этой схеме, таким образом, сдвиг фазы тока происходит только в симметричном Т-звене (возможный сдвиг фазы на 180° в трансформаторе не учитывается). Поэтому для токов I или I на входе и выходе Т-звена, соответственно, согласно уравнению (10.11) можно записать

В эквивалентной схеме а Т-звено нагружено на свое волновое сопротивление. Таким образом,

Из этой формулы видно, что ток на выходе по фазе отстает от тока на входе на угол В связи с периодичностью функции сдвиг фазы этой формулой определяется С точностью до величины, кратной или 180°.

Итак, если указывающая направление стрелка до совпадения со стрелкой должна повернуться по часовой стрелке на угол а, то это означает, что ток отстает от тока по фазе на угол

В соответствии с рис. 15.2 четырехполюсник с потерями всегда можно разбить на четырехполюсник без потерь и на схему, определяющую потери. В схеме, определяющей потери, на фазу влияет только параллельное активное сопротивление Пусть сопротивление и направление, определяемое стрелкой будучи отнесенными к точке переходят, например, в (рис. 17.2).

Параллельное сопротивление трансформирует при переходе к точке При этом значения лежат на окружности К, которая перпендикулярна мнимой оси в нулевой точке (резистансная окружность), а определяющая направление стрелка поворачивается до совпадения с направлением по часовой стрелке на центральный угол С другой стороны, из известной теоремы планиметрии следует, что угол между векторами, проведенными из начала координат в точки равен Так как величины напряжений в точках равны, то, следовательно, ток в точке отстает от тока в точке по фазе на угол

Рис. 17.2. К определению сдвига фаз токов в четырехполюсниках с потерями.

Следовательно, и здесь поворот, указывающей направление стрелки по часовой стрелке на угол до совпадения с направлением означает отставание тока в точке по фазе на угол Таким образом, как для четырехполюсника без потерь, так и для четырехполюсника с потерями, соответствующего рис. 15.2, всегда выполняется следующий закон.

Закон 17.3

Если четырехполюсник трансформирует сопротивление нагрузки и одновременно переводит направление проведенное через точку в направление путем поворота по часовой стрелке на угол то ток отстает от тока 12 по фазе на угол [17].

Сдвиг фазы напряжения

Если разность фаз токов и 12 известна, то, используй значение сопротивлений можно легко вычислить разность фаз напряжений.

Как уже отмечалось, разность фаз напряжений .можно определить также и непосредственно из диаграммы проводимостей. Рассуждения, аналогичные приведенным выше, позволяют сформулировать следующий закон:

Закон 17.4

Если четырехполюсник трансформирует проводимость нагрузки в проводимость и одновременно переводит направление, определяемое стрелкой исходящей из

точки в направление, определяемое стрелкой причем поворачивается по часовой стрелке на угол а, то напряжение отстает от напряжения по фазе на угол где

Рис. 17.3. Соотношение фаз напряжений на выходе и входе четырехполюсиика, трансформирующего сопротивление в сопротивление а направление, определяемое стрелкой в направление, определя. емое стрелкой Выходное напряжение отстает от входного на угол где

Угол между на диаграмме проводимостей можно определить и непосредственно из диаграммы сопротивлений, не прибегая к построению диаграммы проводимости. Для этого лишь необходимо на диаграмме сопротивлений начертить окружности проходящие через точки и перпендикулярные действительной оси в нулевой точке. При переходе от диаграммы трансформации сопротивлений к диаграмме трансформации проводимостей эти окружности превращаются в прямые, параллельные мнимой оси.

Стрелки диаграмме проводимостей, соответствующие стрелкам диаграммы сопротивлений, образуют с этими прямыми, параллельными мнимой оси, те же углы что и стрелки с окружностями и Следовательно, чтобы повернуть стрелку до совпадения со стрелкой необходимо на диаграмме проводимостей осуществить поворот на угол (рис. 17.3). В соответствии с этим напряжение будет отставать от напряжения на угол

Аналогичным способом с помощью диаграммы трансформации проводимостей можно вычислить угол поворота на диаграмме трансформации сопротивлений.

Определение трансформации напряжения и тока с помощью диаграммы трансформации внутри единичного круга

Выше было показано, как можно определить трансформацию напряжения или тока с помощью диаграммы трансформации сопротивлений или проводимостей в правой комплексной полуплоскости. Но трансформацию напряжения и тока легко определить также с помощью диаграммы трансформации сопротивлений или проводимостей внутри единичного круга.

Рис. 17.4. Определение закона трансформации тока и напряжения из диаграммы трансформации внутри единичного круга. Предположим, что четырехполюсник трансформирует В этом случае ток на выходе четырехполюсника отстает от тока на входе на угол а напряжение на выходе от напряжения на входе на угол

Если, например, четырехполюсник трансформирует сопротивление внутренней области единичного круга (рис. 17.4) в сопротивление и переводит направление, определяемое стрелкой в направление то через точки можно провести окружности касающиеся единичного круга в точке Эти окружности получаются при отображении прямых, параллельных мнимой оси в декартовой системе координат. Точками пересечения их с действительной осью определяются расстояния от точек правой полуплоскости, соответствующих сопротивлениям до мнимой оси, а следовательно, согласно излрженному выше и закон трансформации амплитуд токов.

Стрелка образует с окружностью угол а стрелка с окружностью угол Очевидно, что поворот стрелки до совпадения со стрелкой в правой полуплоскости должен происходить на угол, который в примере, показанном на рис. 17.4, равен сумме углов Таким образом, мы определили и сдвиг фазы тока.

Чтобы определить закон для трансформации напряжения, через точки следует провести окружности касающиеся единичной окружности в точке Эти окружности получаются при отображении прямых, параллельных мнимой оси на диаграмме проводимости. Они соответствуют окружностям Затем по точкам пересечения окружностей с действительной осью определить трансформированные значения модуля напряжения, а из углов и образуемых стрелками с окружностями определить сдвиг фазы напряжения.

Можно избежать построения окружностей если имеется готовая координатная сетка, полученная в результате отображения декартовой системы координат на внутреннюю область единичного круга (рис. 8.1). В этом случае значения сопротивлений а также направления удобно наносить на прозрачную бумагу, под которую подкладывается координатная сетка.

Другая формулировка основных кругогеометрических законов

В предыдущих параграфах было показано, что ориентация указывающих направления стрелок, введенных в § 9, по соображениям, вытекающим из круговой геометрии, тесно связана со сдвигом фазы тока и напряжения. Полезно еще раз подчеркнуть физический смысл направлений, указываемых этими стрелками. Для этого сформулируем несколько иначе основной кругогеометрический закон 11.2 для четырехполюсников без потерь.

Основной кругогеометрический закон 17.5 для четырехполюсников без потерь

Всегда, существует такой четырехполюсник без потерь, который на данной частоте трансформирует наперед заданное сопротивление в любое другое наперед заданное сопротивление (причем эти сопротивления в общем случае не являются чисто реактивными) и, кроме того, сдвигает фазу тока или напряжения на любой заданный угол. Эти требования однозначно определяют трансформирующие

свойства четырехполюсника без потерь на выбранной частоте.

Аналогичным образом приведенный в § 15 закон однозначности для четырехполюсников с потерями можно сформулировать несколько иначе, переходя от направлений к фазовым сдвигам.

Закон однозначности 17.6 для четырехполюсников с потерями

Если даны граничная окружность Кпот, целиком расположенная в правой комплексной полуплоскости, и какое угодно сопротивление (или проводимость) то можно потребовать, чтобы значение трансформировалось в любое значение лежащее внутри граничной окружности и фаза тока или напряжения сдвигалась на любой заданный угол. Это требование всегда выполнимо и оно однозначно определяет трансформирующие свойства четырехполюсника на данной частоте.