11. ОСНОВНОЙ КРУГОГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ЗАКОН И КРУГОГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ЗАКОН ОДНОЗНАЧНОСТИ ДЛЯ СЛУЧАЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ БЕЗ ПОТЕРЬ

Выше было уже установлено, что осуществляемая любым четырехполюсником без потерь круговая трансформация сопротивлений или проводимостей соответствует отображению правой полуплоскости самой на себя. Покажем теперь, что справедливо и обратное, т. е. любое круговое отображение правой полуплоскости самой на себя может быть осуществлено с помощью четырехполюсника без потерь. Ценность этого положения для кругогеометрического метода изучения четырехполюсников состоит в том, что оно позволяет распространить на теорию четырехполюсников все известные из математики свойства круговых преобразований. Поэтому данное положение можно рассматривать как одно из основных положений круговой геометрии, сформулировав его в виде следующего закона.

Основной кругогеометрический закон 11.1 для случая четырехполюсников без потерь

Осуществляемая любым четырехполюсником без потерь круговая трансформация сопротивлений или проводимостей соответствует отображению правой полуплоскости самой на себя и, наоборот, любое круговое отображение правой полуплоскости самой на себя может быть осуществлено с помощью четырехполюсника без потерь [16].

Докажем теперь вторую часть этого основного закона. Для этого возьмем произвольное круговое отображение правой полуплоскости самой на себя и попытаемся построить четырехполюсник, который соответствовал бы этому

круговому отображению. Если это удастся, то основой закон будет полностью доказан.

Круговое отображение правой полуплоскости самой на себя согласно закону 9.2 определяется однозначно, если известно, в какую внутреннюю точку переходит произвольно выбираемая внутренняя точка правой полу, плоскости и в какое направление, указываемое стрелкой проведенной из точки переходит направление, определяемое стрелкой проведенной из точки (рис. 11.1). Попытаемся построить четырехполюсник без потерь, который осуществлял бы такое отображение.

Построение искомого четырехполюсника начнем с определения величины чисто реактивного сопротивления (рис. 11.2). Это последовательное реактивное сопротивление вызывает простое смещение. При этом комплексное значение переходит в чисто действительную величину , а направление, обозначенное стрелкой в параллельное ему направление проведенное через точку

Рис. 11.1. Дробно-линейное отображение правой полуплоскости самой на себя (соответствует трансформации в случае четырехполюсника без потерь), которое однозначно определяется отображением точки в точку и направлении, указанного стрелкой в направление, указанное стрелкой Как показано в § 17, угол между стрелками определяет изменение фазы тока.

Рис. 11.2. Четырехполюсник с трансформирующими свойствами, определяемыми рис. 11.1.

Перед последовательным реактивным сопротивлением включим идеальный трансформатор с действительной величиной коэффициента трансформации по сопротивлению, равной (практическое выполнение такого трансформатора на дециметровых и сантиметровых волнах будет подробно описано ниже). Трансформатор осуществляет кругогеометрическое преобразование подобия, при этом

точка переходит в точку а направление, обозначаемое стрелкой в параллельное иаирявление проходящее через точку Затем включим перед описанным устройством симметричное Т-обраэное звено, состоящее из реактивных сопротивлений

Последние, как это показано в § 10, можно подобрать таким образом, что отображение, соответствующее этому эвену, будет иметь в качестве фиксированной точки точку представляя собой неевклидов поворот на такой угол а (рис. 11.1), при котором Т-образное звено отображает направление, указанное стрелкой параллельное направление, указанное стрелкой После этого перед всем устройством включается еще последовательное реактивное сопротивление Оно отображает в . Итак, построен четырехполюсник без потерь (рис. 11.2), с помощью которого любое сопротивление нагрузки можно трансформировать в любое сопротивление и произвольное направление, указанное стрелкой отобразить также на произвольноенаправление, указанное стрелкой Таким образом, основной закон для случая четырехполюсников без потерь доказан.

Из основного кругогеометрического закона и кругогеометрического закона однозначности 9.2 для круговых отображений правой полуплоскости непосредственно вытекает следующий закон.

Закон однозначности 11.2 для четырехполюсников без потерь

Всегда существует такой четырехполюсник без потерь, с помощью которого произвольно взятое значение (сопротивления или проводимости), не обязательно являющееся чисто мнимым, можно трансформировать в другое произвольно взятое значение также не являющееся чисто мнимым.

Если значение несколько изменить в каком-либо направлении, например несколько увеличить его активную составляющую, то можно утверждать, что значение тоже должно измениться определенным образом, зависящим от направления изменения Четырехполюсники без потерь, которые отвечают этим конкретным требованиям, даже если они выполнены различным образом, по своим трансформирующим свойствам (на данной частоте) являются идентичными

Этот закон можно, в частности, истолковать следующим образом. Если в какой-либо части схемы изменяется

величина активного сопротивлений, то это эквивалентно изменению индуктивного или емкостного сопротивления в другой части схемы. Таким образом, увеличивая индуктивное сопротивление в одном месте, можно вызвать увеличение емкостного сопротивления в другом. Согласно этому закону всегда могут быть реализованы на практике схемы, обладающие таким свойством.

Приведенное выше доказательство закона однозначности дает дополнительный результат, которым можно воспользоваться при многих рассуждениях, поэтому его следует сформулировать в виде самостоятельного закона. Если считать, что определяют не только направления, а также и расстояния до соответствующих точек, расположенных вблизи друг от друга, то очевидно, что в случае построенного выше четырехполюсника для малых значений модулей получаются следующие зависимости:

т. е.

Согласно закону однозначности 11.2 конкретный вид построенного четырехполюсника не оказывает влияния на конечный результат, выражаемый уравнением Поэтому справедливо следующее.

Закон 11.3

Если четырехполюсник без потерь трансформирует сопротивление в сопротивление

а

и, если то справедливо следующее равенство:

(аналогичное соотношение можно записать для проводимостей) [16].

Последний закон во многих случаях находит практическое применение. Соответствующие примеры приводятся в § 18.

При круговом преобразовании общего вида коэффи циенты дробно-линейной функции

являются произвольными комплексными числами. Если ограничиться только круговыми отображениями правой полуплоскости самой на себя, что соответствует случаю четырехполюсника без потерь, то коэффициенты должны удовлетворять определенным условиям. Так, круговое отображение правой полуплоскости самой на себя можно получить, если поставить условие, чтобы три чисто мнимые точки отображались опять-таки в три чисто мнимые точки

При этом некоторое значение, соответствующее точке, расположенной внутри правой полуплоскости, должно остаться неизменным. В этом случае формула двойного отношения для четырех точек (2.19) записывается в следующем виде:

откуда

Вводя вместо сложных коэффициентов новые действительные числа получаем

Если в последнее выражение вместо подставить какое-либо чисто мнимое значение, то, как легко видеть, получится также чисто мнимое значение т. е. преобразование (11.2) отображает мнимую ось всегда саму на себя. Для того чтобы установить, что правая полуплоскость действительно переходит сама в себя, а не в левую полуплоскость, рассмотрим отображение действительной точки которая расположена вблизи начала координат. Ее трансформированное значение получим, пренебрегая высшими степенями

что дает положительную действительную составляющую только в том случае, если Таким образом, принимая во внимание уравнение (1.4), можно сформулировать следующий закон.

Закон 11.4

В случае линейного пассивного четырехполюсника без потерь трансформация сопротивлений или проводимостей выражается равенством

где коэффициенты действительные числа, удовлетворяющие условию

В случае четырехполюсника без потерь трансформация напряжения и тока осуществляется в соответствии со следующими равенствами: