ГЛАВА I. ОБЩАЯ КРУГОГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

Под четырехполюсником (рис. 1.1) понимают элемент схемы любой сложности, имеющий некоторую протяженность в пространстве, с двумя входными и двумя выходными клеммами. При этом в качестве входного и выходного сечения, как уже отмечалось ранее, могут быть взяты только такие сечения, в которых электромагнитное поле однозначно определяется двумя величинами, например напряжением и током, т. е. не зависит от того, в какую схему включен четырехполюсник.

Условимся с самого начала, что входом четырехполюсника будет называться его сторона, подключаемая к генератору, а выходом — подключаемая к нагрузке. Напряжение и ток на выходе обозначим индексом а на входе — индексом 2. Такое обозначение в отличие от обычно применяемого на длинных волнах является более удобным, так как в дальнейшем отсчет всегда будет производиться от сопротивления нагрузки.

Четырехполюсник называется линейным, если между его напряжениями и токами существуют исключительно линейные зависимости.

Если четырехполюсник на выходе разомкнут, а на входе к нему приложено напряжение определенной частоты, то у линейного четырехполюсника как напряжение так и ток на входе будут пропорциональны напряжению на выходе. То есть существуют зависимости

где на данной частоте являются постоянными комплексными числами.

Для четырехполюсника, состоящего из чисто реактивного последовательного сопротивления соотношения принимают вид

Если четырехполюсник на выходе замкнут накоротко, то указанные соотношения можно записать так:

Таким образом, в примере, показанном на рис. 1.2,

При этом предполагается, что величина индуктивности на рис. 1.2 не зависит от амплитуды. В случае катушки с железным сердечником это условие не выполняется и четырехполюсник можно лишь приближенно принять за линейный.

Рис. 1.1. Схема четырехполюсника (общий случай). Индексом 1 обозначены величины на выходе четырехполюсника, индексом - величины на его входе.

Рис. 1.2. Последовательная индуктивность, представляющая собой четырехполюсник.

Для линейных четырехполюсников справедлив принцип суперпозиции. Он заключается в том, что два независимо существующих электрических состояния можно наложить друг на друга без какого-либо взаимного влияния. Это означает, что если в случае холостого хода справедливы соотношения (1.1), а в случае короткого замыкания — соотношения (1.2), то при наличии одновременно как напряжения так и тока имеют место следующие соотношения:

Таким образом, в примере рис. 1.2 при любом включении справедливо

Итак, напряжение и ток на входе линейного четырехполюсника в общем случае являются линейными однородными функциями напряжения и тока на выходе.

Если в линейном четырехполюснике отсутствуют как источники энергии, так и невзаимные элементы, т. е. элементы, которые ведут себя по-разному при различных направлениях распространения энергии, то такое устройство называется пассивным линейным четырехполюсником. Если в последующем изложении особо не подчеркиваются какие-либо иные свойства четырехполюсника, то имеется в виду именно этот четырехполюсник. Пусть положительное направление напряжения и тока на входе четырехполюсника соответствует направлению движения активной мощности к четырехполюснику, а на выходе — ее движению по направлению к нагрузке. На рис. 1.1 и 1.2 эти направления указаны стрелками. Так, например, ток будет считаться положительным в том случае, когда он течет в направлении указанном стрелкой.

Таким образом, в пассивном линейном четырехполюснике любой сложности и длины на данной частоте для напряжений и токов на входе и выходе справедливы следующие зависимости:

При этом являются постоянными комплексными числами. (Применение двойного индекса позволяет без особого труда устанавливать положение соответствующих постоянных в системе (1.3). Первый индекс указывает строку, второй — столбец.)

Если в четырехполюснике не наблюдается невзаимных эффектов, т. е. свойства ни одной из его частей не зависят от направления тока, то с помощью основных уравнений электромагнитного поля можно показать, что всегда выполняется соотношение

Так, например, в случае, соответствующем рис. 1.2, получим

Если то из (1.3) можно получить соотношения

а при соотношения

Соотношения (1.3) назовем уравнениями цепи, соотношения (1.5) — уравнениями сопротивлений, а соотношения уравнениями проводимостей четырехполюсника.

Разделив уравнения системы (1.3) друг на друга, получим

Здесь сопротивление нагрузки на выходе четырехполюсника, входное сопротивление четырехполюсника при оконечной нагрузке Из (1.7) с помощью (1.4) всегда можно получить (1.3).

Из уравнений (1.3) также получим

где является комплексной проводимостью нагрузки, входной проводимостью четырехполюсника при оконечной нагрузке Свойства четырехполюсника на данной частоте однозначно определяются таблицей комплексных коэффициентов,

которая называется матрицей четырехполюсника и сокращенно записывается

Пусть к четырехполюснику подключена некоторая нагрузка, определяемая в электрическом отношении ее сопротивлением Если теперь на вход четырехполюсника подать напряжение то можно рассчитать ток на входе,

напряжение и ток на выходе, активную И рёактивйую мощности на входе и выходе.

Для того чтобы определить свойства четырехполюсника, необходимо определить постоянные на данной частоте, что, как уже говорилось выше, на очень высоких частотах можно сделать только путем измерений.

Использование четырехполюсника на данной частоте в какой-то иной схеме в этом случае отличается только тем, что к нему каждый раз будет подключаться иное сопротивление или иная проводимость нагрузки. При этом с помощью выражений (1.7) и (1.8) в любом случае можно вычислить входное сопротивление или входную проводимость К сожалению, такого рода расчет с использованием комплексных чисел является довольно трудоемким и неудобным. Свойства четырехполюсника можно считать очевидными только в том случае, когда поведение его в схеме определяется при первом же знакомстве с ней. Чтобы достичь этого необходимо более глубоко изучить уравнения и (1.8). Они выражают как дробно-линейные функции от Свойства дробно-линейных функций подробно исследованы в математике, причем получены несложные закономерности, рассматриваемые ниже.