27. ЗАКОН ТРАНСФОРМАЦИИ ДЛЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ БЕЗ ПОТЕРЬ

Метод измерений и закон трансформации

Измерение и определение трансформирующих свойств производятся наиболее просто в случае четырехполюсника без потерь, к которому с обеих сторон подключены однородные линии, работающие в диапазоне прозрачности [33].

При этом линии могут отличаться друг от друга по виду.

В данном случае необходимо при постоянной частоте найти только зависимость положения минимума напряжения во входной однородной линии от положения перемещаемого короткозамыкателя К, расположенного на выходе.

Рис. 27.1. Метод измерений, основанный на законе трансформации.

Выберем две произвольно расположенные точки (рис. 27.1) и будем определять положение короткозамыкателя К координатой х, а положение минимума напряжения на входе — координатой у (положительные значения для у отсчитываются в том же направлении, что и для

Обозначим длины волн в линиях, подключенных к выходу и входу четырехполюсника, через соответственно. Зависимость от можно изобразить графически. При этом получаются кривые, обладающие периодичностью и располагающиеся по отношению к прямой, наклоненной под углом в 45° к горизонтальной оси так, как это показано на рис. 27.2. В дальнейшем будет доказано, что в аналитически неявном виде эти кривые описываются следующим выражением:

Из последнего выражения следует, что пространственный период ограничивается точками, координаты которых отличаются друг от друга на 0,5. Поскольку в дальнейшем о таких кривых будет часто идти речь, назовем их «кривыми смещения узла напряжения» или «кривыми закона трансформации». Значения определяются

Рис. 27.2. Кривая смещения узла напряжения (кривая закона трансформации). Точка перегиба кривой определяет в подводящих линиях рис. 27.1 положение двух отсчетных точек характеризуемых тем, что расположенный между ними четырехполюсник без потерь можно представить в виде идеального трансформатора.

непосредственно из снятой экспериментально кривой с учетом того, что являются координатами точки перегиба, крутизной кривой в этой точке.

Соотношение (27.1) можно записать иначе:

Его можно истолковать следующим образом: если короткозамыкатель К находится в точке с координатой х, то в поперечном сечении определяемом координатой (рис. 27.1), возникает реактивное сопротивление

Тогда в сечении находящемся на входе четырехполюсника, положение которого определяется координатой сопротивление будет определяться выражением

так как короткому замыканию в точке х соответствует узел напряжения в точке у. Соотношение (27.2) указывает на то, что между сопротивлением т. е. отнесенным к сечению сопротивлением нагрузки, и входным сопротивлением в сечении существует зависимость

остающаяся справедливой для любых положений короткозамыкателя К, т. е. для любых значений реактивного сопротивления

Соотношение, выражающее трансформацию сопротивления между входом и выходом четырехполюсника, в общем случае имеет вид

Это сложное выражение с комплексными в общем случае коэффициентами упрощается в случае четырехполюсника со специально выбранными в подключенных к нему однородных линиях сечениями переходит в уравнение (27.3) с действительными коэффициентами Уравнение (27.2) показывает

справедливость этого утверждения прежде всего только для произвольных реактивных сопротивлений. Но если оно выполняется по меньшей мере для трех полных сопротивлений, то должно быть справедливым для всех остальных полных сопротивлений.

Из выражения (27.3) следует, что для четырехполюсника, заключенного между выбранными отсчетными сечениями трансформация напряжения и тока выражается следующим образом:

где

Для нормированных полных сопротивлений

получим

Тем самым установлен важный закон, который будем называть законом трансформации.

Закон трансформации 27.1

Пусть имеется сложный четырехполюсник без потерь, ко входу и выходу которого подключены произвольные однородные передающие линии. Тогда в этих линиях можно выбрать некоторые определенные сечения так, что четырехполюсник, заключенный между этими сечениями, будет иметь свойства идеального трансформатора. Это означает, что уравнения четырехполюсника для такого трансформирующего устройства упрощаются и превращаются в равенства с действительным коэффициентом трансформации Положение сечений ограничивающих трансформатор, можно определить из экспериментальной кривой сдвига узла напряжения, учитывая, что соответствующие им координаты являются координатами точки перегиба. При

этом коэффициент трансформации равен крутизне кривой в точке перегиба [33]

Следует отметить, что положения сечений ограничивающих трансформатор, и коэффициент трансформации в общем случае зависят от частоты.

Во избежание недоразумений и путаницы со старыми обозначениями необходимо еще раз подчеркнуть, что в последующем изложении линейными трансформаторами будут называться только такие четырехполюсники, которые подчиняются закону трансформации, т. е. четырехполюсники, у которых коэффициент трансформации всегда действителен и его величина не зависит от сопротивления нагрузки.

Кривая сдвига узла напряжения (рис. 27.2) имеет две различные точки перегиба, координаты которых отличаются на , т. е. «а или Если в уравнении 27.1 ввести величины то получим

откуда

Последнее означает, что вместо оконечных зажимов четырехполюсника в сечениях положение которых определяется координатами можно выбрать зажимы, удаленные от на т. е. точки Им соответствует обратный по отношению к коэффициент трансформации Условимся, что в дальнейшем, если не оговорено обратное, зажимы трансформатора всегда будут выбираться соответственно точке перегиба с наибольшей крутизной, так что Следовательно, зажимам трансформатора, расположенным в будет соответствовать меньшее значение нормированного полного сопротивления

В случае несимметричного четырехполюсника два возможных варианта линейного трансформатора, соответствующие двум различным точкам перегиба, будут отличаться друг от друга по своему виду. В случае симметричного четырехполюсника второй вариант можно получить первого путем взаимозамены входа и выхода. В этом можно убедиться, пользуясь рис. 27.3.

Рис. 27.3. Расстояния от зажимов трансформатора и до середины четырехполюсника без потерь. Эти расстояния в случае симметричного четырехполюсника отличаются друг от друга на четверть длины волны.

Предположим, что зажимы трансформатора расположенные в линии на выходе, удалены на расстояние а, а входные зажимы на расстояние от середины четырехполюсника.

Тогда взаимозамена входа и выхода в случае симметричного четырехполюсника сводится только к взаимной замене расстояний от зажимов трансформатора до середины четырехполюсника. Таким образом, расстояние на выходе будет равно а на входе а. Так как в каждой из подключенных линий имеются только две возможности размещения зажимов трансформатора, то, следовательно, длины отрезков должны отличаться друг от друга как раз на четверть длины волны, т. е.

Закон 27.2

В случае симметричного четырехполюсника расстояние от зажимов трансформатора до середины этого четырехполюсника отличаются друг от друга точно на четверть длины волны.

Величину коэффициента трансформации можно определить с большей точностью, если исходить не из крутизны кривой в точке перегиба, а из расстояния а (рис. 27.2) между двумя расположенными под углом в 45° к горизонтальной оси касательными к снятой экспериментально кривой трансформации, используя при этом зависимость

Эта зависимость графически изображена на рис. 27.4.

Так как все кривые трансформации подчиняются соотношению целесообразно, используя уравнение

рассчитать и представить графически кривые зависимости от для различных значений как параметра. Такие кривые приведены на рис. 27.5, при этом сделана взаимная замена осей положительных и отрицательных значений поскольку при выполнении измерений, учитывая симметрию, за у принимают обычно расстояние от

Рис. 27.4. Зависимость коэффициента трансформации к от расстояния а между двумя касательными, расположенными под углом в 45° к горизонтальной оси (рис. 27.2).

Рис. 27.5. Семейство кривых трансформации.

узла напряжения до входа четырехполюсника, в результате чего получается зеркальная кривая. Зависимость от установленная экспериментально, наносится в том же масштабе на прозрачную бумагу, которая затем накладывается на семейство расчетных кривых (рис. 27.5) и путем параллельных сдвигов совмещается с ним.

Рис. 27.6. Кривая сдвига узлов напряжения при небольших трансформациях.

Рис. 27.7. Кривая сдвига узла напряжения при очень большом коэффициенте трансформации. В результате влияния всегда имеющихся активных потерь теоретическая кривая С, превращается в кривую

Так как для определения трансформирующих свойств пассивного четырехполюсника достаточно трех измерений, его кривая трансформации однозначно определяется тремя точками. Поэтому с помощью прозрачной бумаги, используя возможно большее число экспериментальных точек, можно провести кривую, так что она в среднем будет одинаково хорошо соответствовать этим точкам, и, таким образом, погрешности измерений практически исключаются.

Если коэффициент трансформации близок к единице, целесообразно вместо зависимости от построить зависимость от причем масштаб по оси ординат следует выбрать достаточно большим для того, чтобы отклонения кривой трансформации от горизонтальной прямой были видны отчетливее (рис. 27.6).

При коэффициенте трансформации, стремящемся к бесконечности, кривая сдвига узла напряжения должна все больше приближаться к ступенчатой кривой составленной из отрезков прямой линии на рис. 27.7 нанесена пунктиром). Однако в результате того, что в действительности всегда имеются потери, вместо нее при очень

большом получается кривая которая при еще большем значении к превращается в конце концов в прямую, параллельную оси абсцисс. Объяснение этому явлению будет дано в § 31.

Доказательство закона трансформации

Отнесенное к точке А (рис. 27.1) сопротивление короткого замыкания, осуществляемого в точке с координатой х, согласно уравнению (22.8) должно определяться выражением а соответствующее, полученное в результате трансформации, сопротивление, отнесенное к точке В, — выражением (поскольку в точке у находится узел напряжения). Согласно уравнению (11.2) трансформация, осуществляемая четырехполюсником без потерь, расположенным между точками выражается соотношением

где коэффициенты являются действительными числами. Подставив в него значения получим

Выражение для получаемого в результате трансформации полного сопротивления, отнесенного к точке используя известную тригонометрическую формулу, можно преобразовать следующим образом:

Подставив уравнение (27.9) в уравнение (27.10), получим

Из уравнения (27.11) следует, что если для или выбирать всегда действительные значения, удовлетворяющие равенству

то можно записать следующее:

и

где (а следовательно, и а также и должны быть действительными. После подстановки в уравнение (27.11) получим

Следовательно, наше утверждение при дополнительном условии, что положительно, доказано. Но необходимо выяснить, будут ли решения уравнения (27.12) всегда действительными для любых действительных значений Из уравнения (27.12) получим

Из уравнения (27.13) видно, что, поскольку под корнем стоят только положительные значения, всегда имеется два действительных решения для (а следовательно, и для которые удовлетворяют уравнению (27.12). Возможность существования двух решений можно было предсказать уже при выводе соотношений (27.6).

От математического доказательства того, что множитель всегда положителен, можно воздержаться, так как это непосредственно следует из чисто физических соображений: .в противном случае четырехполюсник трансформировал бы положительные активные сопротивления в отрицательные, что противоречит сделанным выше предпосылкам.

Теперь остается лишь доказать справедливость соотношения (27.7). Точки соприкосновения кривой (рис. 27.2) с наклоненными под углом в 45° касательными характеризуются тем, что в них

Из уравнения (27.1) путем дифференцирования получим

т. е.

Для точки где получим выражение

которое после некоторых преобразований принимает вид

Между сущестзует, как это видно из рис. 27.2, зависимость

Таким образом,

Итак, соотношение (27.7) доказано.

Измерение характеристик четырехполюсника при подключении к его выходу сопротивления, равного волновому. Их связь с коэффициентом отражения

Трансформирующие свойства четырехполюсника с подключенными к нему линиями можно также установить, подключая к выходной линии сопротивление, равное волновому, и определяя полное сопротивление та входе.

В этом случае на зажимах трансформатора должен, очевидно, иметь место максимум напряжения и поэтому, исходя из наблюдаемого здесь полного сопротивления можно непосредственно вычислить коэффициент трансформации четырехполюсника. Таким образом, посредством одного измерения устанавливается положение входных зажимов линейного трансформатора, а также его коэффициент трансформации. Если четырехполюсник симметричен, то пользуясь законом 27.2, можно также определить исходное положение зажимов трансформатора

В случае несимметричного четырехполюсника для определения точки следует производить измерения, используя обратную схему включения четырехполюсника.

В случае симметричных элементов этот способ скорее приводит к цели. Однако для точного определения трансформирующих свойств при этом требуются очень точные измерительные приборы. В первую очередь необходимо иметь очень хорошо согласованное оконечное сопротивление, реализация которого в достаточно широкой полосе частот связана со значительными трудностями. На рис. 27.8,а показан один из вариантов коаксиальной, нагруженной на свое волновое сопротивление, однородной линии.

На конце линии располагается сопротивление в виде поглощающего слоя, равное по величине ее волновому сопротивлению, а диаметр конусообразного внешнего проводника к концу линии уменьшается таким образом, что по мере удаления от конца линии волновое сопротивление возрастает по такому же закону, что и активное поверхностное сопротивление слоя. Сконструированная на основании этих соображений нагрузка в действительности обычно не обладает достаточно хорошим согласованием. Требуемую степень согласования можно тем не менее достигнуть, подбирая экспериментально соответствующие размеры и форму элементов этой нагрузки. На рис. 27.8,б изображена согласованная нагрузка для волновода. Форму клина и свойства поглощающего материала обычно приходится определять также экспериментально.

Рис. 27.8. Согласованные нагрузки.

К измерительной линии в этом случае также предъявляются очень высокие требования. Особенно хорошо должен быть согласован генератор, что достигается введением поглощающего элемента между генератором и измерительной линией. Метод, основанный на измерении положения узлов напряжения согласно рис. 27.1 хотя и является более сложным, однако предъявляет значительно меньшие требования к точности измерительных приборов и потому более предпочтителен в тех случаях, когда соответствующие достаточно точные приборы отсутствуют. Кроме того, метод, основанный на измерении положения узлов напряжения, является наиболее точным.

Описанный выше метод измерения позволяет определять характеристики четырехполюсника по его входному сопротивлению при подключенной к выходу согласованной нагрузке. Используя уравнение (22.10), можно рассчитать коэффициент отражения или -сопротивление

Если его отнести к плоскости зажимов трансформатора, то подучится

Если точка удалена от входа четырехполюсника на расстояние I в направлении к генератору, то коэффициент отражения непосредственно на входе четырехполюсника будет определяться выражением

Поэтому, в частности, симметричные четырехполюсники могут характеризоваться не только характеристиками, вытекающими из закона трансформации, но и коэффициентом отражения, измеряемым при подключении к линии волнового сопротивления. Преимущество последнего способа заключается в том, что коэффициент трансформации и расстояние от зажимов трансформатора до входа четырехполюсника входят в одно и то же выражение. Поскольку формулы (27.14) и (27.15) очень просты, то практически безразлично, производятся ли вычисления с использованием коэффициента отражения или параметров закона трансформации.