9. КРУГОГЕОМЕТРИЧЕСКИИ ЗАКОН ОДНОЗНАЧНОСТИ

Известно, что круговое преобразование однозначно определяется отображением трех точек (закон 2.4). Ниже будет найден и сформулирован еще один очень важный закон однозначности. Для этого необходимо рассмотреть круговые преобразования, которые обладают свойством отображать внутренность единичного круга опять на единичный круг (сокращенно -круг).

Очевидно, что простейшим отображением такого вида является поворот При повороте центр единичной окружности, т. е. начало координат, переходит сам в себя и, таким образом, является фиксированной точкой отображения. Поворот однозначно определяется величиной угла поворота Геометрически этот угол задается поворотом вектора, проведенного из центра окружности (рис. 9.1). Докажем, что поворот является единственно возможным круговым преобразованием, отображающим единичный круг сам на себя, при котором центр последнего является фиксированной точкой. Для этой цели проведем диаметр, который пересекает единичную окружность в точках . С точки зрения круговой геометрии диаметр единичного круга — это окружность, проходящая через его центр

И перпендикулярная К единичной окружности. Поскольку при данном круговом отображении единичный круг и его центр переходят сами в себя, диаметр должен перейти в окружность, проходящую также через центр единичного круга и перпендикулярную к единичной окружности. Очевидно, что получится опять диаметр, который пересекает границу -ируга, например, в точках Таким образом, при этом отображении точка переходит в О, точка и точка

Рис. 9.1. Отображение путем поворота в единичном круге.

Рис. 9.2. Отображение единичного круга самого на себя. Оно однозначно определяется отображением точки 2, на и направления на

Но круговое отображение согласно закону 2.4 однозначно определяется отображением трех точек. Это отображение осуществляется с помощью поворота следовательно, согласно закону однозначности поворот является единственным отображением такого типа.

Если кроме поворота имеются другие круговые отображения, при которых единичный круг переходит сам в себя, то в этом случае начало координат плоскости должно переходить в точку плоскости, отличную от нуля, или, наоборот, в начало координат плоскости должна отображаться точка плоскости отличная от нуля. Возникает вопрос, можно ли сделать так, чтобы при круговом отображении единичного круга самого на себя любая произвольно выбранная точка лежащая внутри единичного круга, отображалась на точку (рис. 9.2). Утвердительный ответ и доказательство этого приводятся ниже.

Проведем через точку произвольную окружность, которая перпендикулярна к границе единичного круга. Пусть это будет, например, диаметр пересекающий границу

единичного ируга а точках Согласно закону 2.4 всегда имеется такое круговое преобразование, которое отображает точку в точку лежащую в любом месте на границе единичного круга, точку в точку 0, а точку в точку, диаметрально противоположную и обозначенную Это круговое преобразование обладает тем свойством, что окружность К, проходящую через точки оно отображает на окружность К, проходящую через точки и Таким образом, единичная окружность, перпендикулярная к К в точках должна перейти в единичную окружность, перпендикулярную к К в точках Это значит, что граница единичного круга отображается сама на себя. Так как и являются внутренними точками, получается круговое отображение единичного круга самого на себя, при котором точка отображается в точку 0.

Точка может быть взята в любом месте на границе единичного круга, поэтому имеется бесконечно большое число круговых отображений, которые отвечают сформулированному требованию. Если же ставится дополнительное условие, согласно которому произвольно взятое направление, определяемое стрелкой проведенной через точку должно отображаться в произвольное направление проведенное через точку 0, то существует только одна возможность. Направление составляет с диаметром, проходящим через точку угол а, величина и направление отсчета которого при отображении остаются постоянными. Диаметр, проходящий через точку можно рассматривать как однозначно определяемую окружность К, проходящую через точку перпендикулярно к границе единичного круга и образующую угол а с направлением При отображении он должен дать окружность К, проходящую через точку 0, перпендикулярно к границе единичного круга. Окружность К с направлением образует угол а. Этим однозначно определяется точка а следовательно, и все круговое отображение. Таким образом, доказано, что всегда имеется одно, и только одно, круговое отображение единичного круга самого на себя, три котором произвольно взятая внутри его точка отображается на начало координат, а любое направление проведенное через точку на любое направление проведенное через начало координат.

Обозначим символом А круговое отображение единичного круга самого на себя, при котором точка

переходит в точку 0, а направление Пусть при втором круговом отображении единичного круга самого на себя, обозначенном буквой В, произвольно взятая точка переходит в точку 0, а направление Это отображение однозначно определяется указанными выше условиями. Если использовать символические обозначения, введенные нами при изучении групповых законов, то тогда круговое отображение может быть записано в виде

где отображение является обратным для В. Очевидно, что оно будет представлять собой круговое отображение единичного круга самого на себя, при котором точка О переходит в Отображение означает последовательное выполнение отображений При отображении А точка переходит в точку 0, при отображении точка отображается в точку следовательно, при отображении точка отображается в точку Точно так же при отображении А направление реходит в направление при направление переходит в т. е. при отображении направление переходит в Этим доказано, что всегда существует круговое отображение единичного круга самого на себя, при котором любая, находящаяся внутри круга точка отображается в произвольную, находящуюся внутри этого круга точку а любое направление проходящее через точку в любое направление проведенное через точку

Существует только одно круговое отображение с этими свойствами. Это ясно из следующего.

Пусть С является круговым отображением, также обладающим указанными свойствами. Тогда отображение переводит точку в точку 0, а направление Таким образом, это отображение согласно доказанному выше идентично с отображением А. Итак Из последнего уравнения следует

Но согласно (2.22) и (2.20)

Этим доказана идентичность отображений

Если обозначить, как обычно, трансформированное значение через то изложенное выше можно сформулировать в виде следующего закона:

Закон однозначности 9.1 для случая отображения единичного круга самого на себя

Для кругового отображения единичного круга самого на себя характерно то, что произвольно выбранная, находящаяся внутри этого круга точка с произвольным направлением может отображаться в любую другую, находящуюся внутри него точку с любым направлением Всегда имеется одно и только одно круговое отображение, которое отвечает данным конкретным требованиям.

Отсюда нетрудно вывести очень важный для дальнейшего закон однозначности кругового отображения правой комплексной полуплоскости самой на себя, а именно:

Закон однозначности 9.2 для случая отображения правой полуплоскости самой на себя

Для кругового отображения правой полуплоскости самой на себя характерно то, что произвольно лежащая на ней точка с произвольным направлением может отображаться на другую точку этой полуплоскости с произвольным направлением Всегда имеется одно и только одно круговое отображение, которое отвечает данным конкретным требованиям.

Для доказательства отобразим правую половину плоскости 2, а также плоскости на единичный круг с помощью кругового преобразования При этом точка перейдет в точку направление Согласно закону однозначности 9.1 всегда имеется такое круговое отображение С единичного круга самого на себя, при котором точка отображается в а направление Тогда круговое отображение

будет переводить правую полуцлоскость саму на себя, при этом точка переходит в точку а направление, определяемое стрелкой в направлении Таким образом, существование искомого кругового отображения доказано.

Пусть является вторым круговым отображением, которое отвечает тем же требованиям. Рассмотрим отображение

Очевидно, что с помощью единичный круг отображается на правую полуплоскость, при этом точка переходит в 2, и направление При отображении правая полуплоскость переходит сама в себя таким образом, что точка переходит в а направление в направление При последующей трансформации правая полуплоскость снова отображается на единичный круг; при этом точка переходит в а направление является таким круговым отображением единичного круга самого на себя, при котором точка переходит в а направление в направление Следовательно, согласно закону однозначности 9.1

Тогда

Таким образом, отображение идентично отображению