10. ДИАГРАММЫ ТРАНСФОРМАЦИИ В ВИДЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СЕМЕЙСТВ ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ Т-ОБРАЗНЫХ ЗВЕНЬЕВ БЕЗ ПОТЕРЬ

Наряду с диаграммами трансформации для последовательных и параллельных реактивных сопротивлений очень важное значение имеет диаграмма, рассматриваемая ниже. Пусть имеется симметричное Т-образное звено без потерь (рис. 10.1). Для построения отвечающей ему диаграммы трансформации полных сопротивлений целесообразно прежде всего определить те значения сопротивления нагруэки или, другими словами, те точки которые отображаются сами на себя, т. е. являются фиксированными точками. Входное сопротивление соответствующее сопротивлению нагрузки рассчитывается в случае рис. 10.1 по формуле

Рис. 10.1 Симметричное Т-образное звено реактивных сопротивлений.

Значения для фиксированных точек, обозначенных через определяются из уравнения

т. е.

Таким образом, получаются два значения: причем всегда

Поскольку могут быть как положительными, так и отрицательными, то возможны три случая, когда подкоренное выражение является положительным, отрицательным или равным нулю. Соответственно этому значения фиксированных точек будут, либо чисто действительными, либо чисто мнимыми, либо равными нулю. В первом случае физически, разумеется, имеет смысл только положительное действительное значение для фиксированной точки, которое обозначается через

Продолжая изучение отображения, определим, в какое значение (входное сопротивление при коротком замыкании) трансформируется Т-образным звеном сопротивление нагрузки (короткое замыкание на выходе). Из уравнения (10.1) в этом случае получим

Таким образом, поскольку являются действительными, входное сопротивление при сопротивлении нагрузки всегда является чисто мнимой величиной, как и вообще входное сопротивление при любом подключенном к Т-образному звену без потерь реактивном сопротивлении. Рассмотрим подробнее каждый случай в отдельности.

Эллиптический случай (диапазон прозрачности)

Если значения фиксированных точек и являются действительными, то, воспользовавшись терминологией, принятой в математике, можно говорить об эллиптическом случае. Фиксированная точка в зависимости от выбора принимает любое положительное действительное значение, лежащее между и Сопротивление соответствующее короткому замыканию на выходе, независимо от величины может принимать любое значение

на мнимой оси. Это можно показать, еслн и А считать произвольными действительными величинами, и затем доказать, что всегда существуют действительные значения которые удовлетворяют условиям

Условия (10.4) представляют собой уравнения, где неизвестны. Они могут быть решены относительно при этом получается

Очевидно, что подкоренное выражение в соотношениях (10.5) всегда положительно, следовательно, действительные величины. Таким образом, существует по меньшей мере одно симметричное Т-образное звено с требуемыми свойствами.

Очевидно, что в том случае, когда четырехполюсник преобразует чисто мнимые сопротивления нагрузки в чисто мнимые входные сопротивления, а одно из положительных действительных сопротивлений отображается само на себя, приходится иметь дело с круговым отображением правой полуплоскости самой на себя. Ниже будет показано, что диаграмма трансформации сопротивлений кругогеометрически может быть полностью определена на основании только того факта, что действительное значение переходит само в себя, а значение чисто мнимое значение которое определяется выражением (10.3).

Прежде чем перейти к рассмотрению кругового отображения рассмотрим отображение

где К изображает трансформацию

при которой правая полуплоскость переходит в единичный круг и, в частности, точка нулевую точку. На вопрос о том, что представляет собой отображение можно ответить воспользовавшись следующими рассуждениями. При отображении единичный круг переходит на правую полуплоскость, Я отображает последнюю самое на себя,

после отображения К правая полуплоскость снова перб ходит в единичный круг. Таким образом, является круговым отображением единичного круга самого на себя. Кроме того, можно установить, что при отображении точка переходит в при отображении точка остается неизменной и при отображении К точка вновь цереходит в нуль.

Таким образом, при отображении начало координат, совпадающее с центром единичного круга, остается неподвижным. Следовательно, на основании изложенного в § 9 можно утверждать, что отображение является обычным поворотом вокруг начала координат.

Преобразование отображает точку в нуль, Я отображает точку нуль в наконец, К—точку в

Отображение это поворот единичного круга вокруг начала координат на такой угол, что точка переходит в точку Таким образом, установлено следующее:

Закон 10.1

В случав симметричного Т-образного звена (рис. 10.1) отображение (если оно имеет действительные фиксированные точки и если правая полуплоскость переходит в единичный круг, таким образом, что положительная действительная фиксированная точка становится началом координат) соответствует повороту единичного круга вокруг точки на такой угол, что точка переходит в точку значение которой может быть определено из значений с помощью уравнений (10.3) и (10.6).

После исследования отображения легко уяснить смысл следующего равенства:

Как уже указывалось в § 8, лучам, проведенным внутри единичного круга, соответствуют в правой полуплоскости окружности, проходящие через точку и перпендикулярные мнимой оси (рис. 8.4). Совокупность их называется семейством окружностей II. Каждому лучу, проходящему внутри единичного круга, соответствует именно та окружность, которая в точке образует с действительной осью

Такой же угол, что и сам луч. Концентрическим окружностям соответствуют окружности, ортогональные окружностям семейства II. Они объединяются в семейство Окружности правой полуплоскости, которые соответствуют концентрическим окружностям, расположенным внутри единичного округа (семейство I) с учетом свойств, рассмотренных ниже, называются «окружностями постоянного рассогласования», а ортогональные к ним окружности (семейство II) — «окружностями постоянной фазы». Итак, установлено следующее:

Закон 10.2

Диаграмма трансформации для симметричного Т-образного звена в эллиптическом случае, т. е. в случае лежащей в правой полуплоскости действительной фиксированной точки состоит из двух ортогональных семейств окружностей, обозначаемых цифрами I и II. Семейство I (или семейство окружностей постоянного рассогласования) включает в себя окружности, перпендикулярные действительной оси и пересекающие последнюю в таких двух точках и что (на рис. 8.4 показаны сплошными линиями). Каждая из этих окружностей при отображении переходит сама в себя. Семейство II (семейство окружностей постоянной фазы) представляет собой совокупность всех окружностей, проходящих через точку и перпендикулярных окружностям первого семейства, а также мнимой оси (на рис. 8.4 показаны пунктиром). При отображении имеет место сопровождающийся искажениями (неэвклидов) поворот их вокруг точки такой угол а, при котором точка переходит в точку причем каждая из окружностей постоянной фазы переходит в другую окружность того же семейства.

Рис. 10.2. Часть диаграммы трансформации эллиптического типа и геометрические построения, с помощью которых устанавливаются особенности трансформации в эллиптическом случае.

Угол а может быть вычислен из величины входного сопротивления -образного звена при коротком замыкании на его выходе. На рис. 10.2 изображены фиксированная точка и угол поворота а для

симметричного Т-образного эвена. Тогда является точкой (пересечения окружности постоянной фазы К с мнимой осью. В точке окружность К образует с действительной осью угол а. Точка центр этой окружности, точки образуют равнобедренный треугольник с углом а при вершине. Вершинами другого равнобедренного треугольника являются точки и - точка пересечения касательных к окружности постоянной фазы, проведенных через Внешний угол при вершине этого треугольника равен а, так что углы при основании треугольника равны Следовательно, угол при вершине прямоугольного треугольника также равен Таким образом, выражение для входного сопротивления при коротком замыкании на выходе можно записать следующим образом:

и далее

Таким образом,

Сопротивление, определяемое фиксированной точкой называют волновым сопротивлением Т-образного звена. Если волновое сопротивление, как например в данном случае, является действительной величиной, то говорят, что Т-образное звено является фильтром, работающим в диапазоне прозрачности. Если на выходе подключено активное сопротивление то входное сопротивление четырехполюсника также будет активным и равным . В этом случае при подключении генератора ко входу Т-образного звена мощность будет передаваться на выход без отражения.

Гиперболический случай (диапазон непрозрачности)

Согласно уравнению 10.2 фиксированные точки -образного звена могут иметь чисто мнимые значения. Этот случай называется гиперболическим. Обе фиксированные точки при этом лежат на мнимой оси на одинаковом расстоянии от начала координат. Физически эти фиксированные точки определяют чисто реактивные

сопротивления, одно из которых является индуктивным, а другое — емкостным. Величина для точки или в зависимости от величин может принимать любое значение, лежащее между и а входное сопротивление четырехполюсника соответствующее короткому замыканию на выходе, как будет показано в дальнейшем, может изменяться только в пределах между Это можно показать, задаваясь снова любыми чисто мнимыми значениями и определяя из условий

При этом для получим

Очевидно, что могут иметь действительные значения, чисто реактивные сопротивления возможны только в том случае, если причем может принимать любое значение между и

Обратимся к диаграмме трансформации, представленной на рис. 10.3. В семейство I (сплошные линии) в этом случае входят все окружности, которые проходят через фиксированные точки лежащие на мнимой оси. Семейство II (показано пунктирными линиями) включает в себя окружности, перпендикулярные к окружностям первого семейства. Рассматриваемая диаграмма становится внешне сходной с диаграммой для эллиптического случая, если ее дополнить в левой комплексной полуплоскости своим зеркальным отражением и повернуть затем на 90°. При построении окружностей семейства II необходимо учитывать, что все их центры находятся на мнимой оси, а значения их точек пересечения с мнимой осью удовлетворяют соотношению

Если одна из этих точек, например взята произвольно, то вторая точка пересечения определяется из последнего соотношения, а затем на основании этого находится

центр окружности. Как это делается, здесь нет особой необходимости разъяснять подробно, поскольку выполняемые при этом геометрические построения совершенно аналогичны построениям для эллиптического случая.

Теперь покажем, что при трансформации осуществляемой Т-образным эвеном, каждая из окружностей

Рис. 10.3. (см. скан) Диаграмма трансформации гиперболического типа. Она состоит из семейства I всех возможных окружностей, проходящих через фиксированные точки и и семейства II окружностей, перпендикулярных к окружностям семейства определения -трансформированного значении сопротивления нагрузки 2, находит окружности обоих семейств, проходящие через точку 2,. Точка лежит на той же окружности семейства I и на окружности ивляющейси отображением окружности Окружности определиютси по их точкам пересечении с мнимой осью. Отображение 2 в может быть найдено с помощью диаграммы трансформации реактивных сопротивлений. Последний строится по фиксированным точкам и точке соответствующей короткому замыканию на выходе четырехполюсника.

семейства I (на рис. 10.3 изображены сплошными линиями), проходящих на раз через фиксированные точки; отображается сама на себя.

Рассмотрим, например, какую-то окружность Ко семейства На этой окружности расположены фиксированные точки Каждая из фиксированных точек отображается сама на себя. Окружность Ко в фиксированных точках образует с мнимой осью углы, каждый из которых равен а. Направление отсчета этих углов определяется тем фактом, что поворот вектора, ориентированного от точки к точке на угол а до совмещения его с направлением касательной к окружности Ко происходит против часовой стрелки. Так как рассматривается четырехполюсник без потерь, то мнимая ось отображается сама на себя. На основании того, что при отображении окружности переходят в окружности, а углы остаются постоянными, можно утверждать, что окружность Ко также должна перейти в окружность, проходящую через точки и образующую с мнимой осью углы, равные а. Этим условиям удовлетворяют либо только сама окружность Ко, либо ее зеркальное отражение относительно мнимой оси. Но последнее не может являться отображением окружности Это вытекает из закона сохранения направления отсчета угла а и из вышедоказанного факта о том, что точка представляющая собой отображение точки лежит на мнимой оси между точками так, что направление от точки к точке совпадает с направлением от точки к нулю.

Таким образом, доказано, что окружность Ко в данном случае действительно отображается сама на себя и что это же самое справедливо для всех окружностей семейства Окружность, перпендикулярная окружностям первого семейства, после отображения также должна быть перпендикулярной им. Следовательно, каждая окружность семейства II после отображения должна оставаться окружностью того же семейства II. Поскольку нулевая точка переходит в точку действительная ось, в частности, должна перейти в ту окружность семейства II, которая проходит через точку Таким образом, при отображении отдельные точки плоскости перемещаются вдоль окружностей семейства I от одной фиксированной точки к другой. Такое отображение получило название «неевклидова преобразования подобия».

Для того чтобы увидеть, как отображается отдельная

Окружность семейства объединим изображённую рис. 10.3 диаграмму из ортогональных семейств окружностей; с диаграммой трансформации реактивных сопротивлений. Для этого слева от мнимой оси проведем мнимую ось плоскости 2 и отложим на ней точки а на мнимой оси, расположенной рядом справа, — соответствующие им точки Далее согласно описанному выше методу построим диаграмму трансформации реактивных сопротивлений с перспективной осью и перспективными центрами. С помощью этой диаграммы для каждой точки мнимой оси можно однозначно определить точку на мнимой оси Если, например, нужно узнать в какую точку отображается произвольная точка, соответствующая комплексному сопротивлению то через нее, во-первых, проводят соответствующую окружность семейства I, которая однозначно определяется точками во-вторых, через точку проводят соответствующую окружность семейства II. Для нахождения центра этой окружности в точке строят касательную к окружности семейства I и продолжают ее до пересечения с мнимой осью. Полученная таким образом окружность семейства II, проходящая через точку пересекает мнимую ось в точке 2. Точку 2 переносят на расположенную слева вторую мнимую ось и затем с помощью диаграммы трансформации реактивных сопротивлений находят точку являющуюся отображением точки Окружность семейства II, проходящая через точку пересекает окружность семейства I, проходящую через точку в точке являющуюся отображением точки . Это можно сформулировать в виде закона:

Закон 10.3

В случае чисто мнимых значений фиксированных точек (гиперболический случай) симметричному Т-образному звену соответствует диаграмма трансформации, которая со» стоит из семейства I всех окружностей, проходящих через фиксированные точки с чисто мнимыми значениями, расположенные <симметрично по отношению к началу координат, и из семейства II всех окружностей, ортогональных окружностям семейства Точки, соответствующие сопротивлениям, при трансформации перемещаются вдоль окружностей семейства I так, что окружности семейства II переходят в другие окружности того же семейства. Для удобства пользования данную диаграмму целесообразно объединить с диаграммой трансформации реактивных сопротивлений.

В гиперболическом случае также можно формально воспользоваться формулой (10.7), получив при этом

и определив, таким образом, угол а, или

При этом

Так как точкам соответствуют чисто мнимые значения, то значения также должны быть чисто мнимыми. Таким образом, в данном случае эти углы не имеют геометрического смысла. Точка как указывалось выше, может принимать любое значение между Это означает, что значения могут лежать между — Положив получим

Если изменяется от до то будет меняться от —1 до +1. Это означает, что изменяется от до следовательно, изменяется от до

Кроме рассмотренных случаев, когда фиксированным точкам диаграммы симметричного Т-образного звена соответствуют чисто действительные или чисто мнимые значения и оба значения отличны друг от друга, существует граничный случай, при котором . В этом случае значения фиксированных точек равны друг другу и в то же время равны нулю. Диаграмма эллиптического или гиперболического типа, как будет показано несколько позже, переходит при этом в диаграмму параболического типа для параллельного реактивного сопротивления (рис. 7.3 и 7.4).

Если в случае рассматриваемого симметричного Т-образного звена, составленного из реактивных сопротивлений, изменять частоту, то величины сопротивлений будут также изменяться. Фиксированные точки при этом в течение определенного времени будут иметь чисто действительные значения. В этом случае, как уже говорилось выше, при оконечной нагрузке, равной по величине значению его фиксированной точки, т. е. волновому сопротивлению, будет передаваться только активная мощность. При этом говорят, что фильтр работает в диапазоне прозрачности. При волновом сопротивлении, значение

которого равно нулю или чисто мнимой величине, имеем обратный, случай. Тогда говорят, что фильтр работает в диапазоне непрозрачности. При этом его работа описывается диаграммой трансформации гиперболического типа. Границе этих двух режимов, т. е. граничной частоте, соответствует диаграмма параболического типа для параллельного реактивного сопротивления или, если диаграмма параболического типа для последовательного реактивного сопротивления.

Трансформация напряжений и токов в случае симметричного Т-образного звена без потерь

В случае Т-образного звена без потерь, используя рис. 10.1, можно получить следующие уравнения:

Подставив второе уравнение в первое, получим

так, что

Введем в эти уравнения соответствующее одной из фиксированных точек значение волнового сопротивления и угол поворота а.

Выше было показано, что

Эти формулы справедливы независимо от того, какая из двух фиксированных точек выбрана. Чтобы они оставались в силе, необходимо лишь взять угол а, соответствующий выбранному значению

Используя выражения

получим

Подставляя эти выражения в уравнения (10.9), нййдем выражения, определяющие трансформацию напряжения и тока в случае симметричного Т-образного звена без потерь

Некоторые формулы для четырехполюсников общего вида

Для полноты картины приведем формулы, известные из теории четырехполюсников для длинных волн. Эти формулы часто выводятся для случая эквивалентного Т-образного звена и выражение (10.11) является для них частным.

В случае несимметричного линейного пассивного четырехполюсника с потерями трансформацию напряжения и тока, как известно, можно определить, следующим образом [6]:

где соответствующие выходу и входу четырехполюсника волновые сопротивления, волновой коэффициент передачи четырехполюсника. Физический этих величин вскрывается ниже.

Если сопротивление нагрузки четырехполюсника равно то из выражения (10.12) получим

Если включить четырехполюсник в обратном направлении,

то в выражениях (10.12) и (10.13) достаточно лишь поменять местами индексы

С помощью выражений (10.12), (10.13) и (10.14) сравнительно легко можно выяснить физический смысл величин Если замкнуть накоротко выход четырехполюсника, т. е. положить то Из выражения (10.13) можно получить следующее выражение для входного сопротивления четырехполюсника в случае короткого замыкания:

Если теперь разомкнуть четырехполюсник на выходе, т. е. положить то выражение для входного сопротивления четырехполюсника запишется в виде

Откуда следует

При включении четырехполюсника в обратном направлении аналогичным образом получим выражение

в которое входят входное сопротивление при коротком замыкании и входное сопротивление холостого хода Для симметричного, четырехполюсника следовательно, также

Если четырехполюсник на одном конце нагрузить на сопротивление, равное соответствующему этому концу волновому сопротивлению, т. е. взять, например, подставив это значение в уравнение (10.13), то сопротивление

четырехполюсника измеренное на другом его конце, будет равно волновому сопротивлению, соответствующему этому концу. Для симметричных четырехполюсников и соответственно значение совпадает значением для фиксированных точек четырехполюсник.

Для случая из уравнения (10.12) получим

Откуда

где

или

Таким образом, волновой коэффициент передачи равен половине натурального логарифма отношения кажущейся мощности на входе четырехполюсника к кажущейся мощности на его выходе.

Используя уравнения (10.17), (10.18), и (10.16), можно рассчитать из значений которые легко измерить.

В случае симметричного Т-образного звена, последовательные сопротивления которого равны а параллельное

В случае симметричного четырехполюсника без потерь, для которого

что совпадает с выражением (10.2), а также

Поскольку используя выражение (10.10), получаем для данного случая