4. ИНВАРИАНТНОСТЬ ДВОЙНОГО ОТНОШЕНИЯ ПРИ ПРОЕКЦИИ

Выше было показано, что двойное отношение для четырех точек при круговом преобразовании остается постоянным. При известных обстоятельствах в геометрии это

играет существенную роль. Если С помощью лучей, проведенных из одной точки (рис. 4.1), спроектировать отрезки одной из двух параллельных прямых на другую, то отношение соответствующих отрезков, как известно, остается постоянным.

Рис. 4.1. Проектирование двух параллельных прямых друг на друга. В этом случае отношение соответствующих расстояний остаетси постоянным.

Рис. 4.2. Проектироваине друг на друга двух произвольно расположенных прямых. В этом случае двойное отношение для четырех соответствующих точек остается постоянным.

Математически проще всего это можно представить, если взять прямые с соответствующим числовым масштабом, т. е. если на каждой из прямых выбрать нулевую точку и расстояние от нее до любой другой точки отсчитывать, пользуясь этим масштабом, имея справа положительные числа, а слева отрицательные. Если при проекции точке соответствует точка точке точка и точке точка то всегда справедливо выражение

Это соотношение не будет выполняться, если прямые непараллельны друг другу (рис. 4.2). В данном случае, если с помощью любых четырех проекционных лучей, исходящих из точки найти для точек расположенных на прямой соответствующие им четыре точки на прямой можно записать соотношение

Сказанное выше можно сформулировать в виде следующего закона:

Закон 4.1 об инвариантности двойного отношения при проекции

Если для любых четырех точек лежащих на некоторой прямой, с помощью проекции из произвольно выбранной точки находятся соответствующие четыре точки лежащие на другой прямой, то двойное отношение значений четырех точек для каждой из прямых одно и то же, т. е. выполняется соотношение (2.16).

Доказательство его можно провести с помощью рис. 4.2, рассчитав площадь треугольников Последнее можно делать двумя способами: либо исходя из расстояния от точки до прямой либо используя значения соответствующих углов с вершиной в точке В обоих случаях результат получится один и тот же, а именно:

При этом все углы, отсчитываемые в одном определенном, выбранном за положительное, направлении (1в случае рис. 4.2 — по часовой стрелке), считаются положительными.

Из написанных выше равенств следует

или

Аналогичным образом получим

В соотношениях (4.1) и (4.2) соответствующие друг другу углы равны, т. е.

Таким образом, правые части (4.1) и (4.2) тождественны, чем и доказано соотношение (2.16).