8. КРУГОВОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРАВОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ НА ЕДИНИЧНЫЙ КРУГ

Прежде чем перейти к симметричному Т-образному звену, необходимо более подробно рассмотреть некоторые положения общей кругогеометрической теории.

Особую важность представляет круговое преобразование

где некоторая положительная действительная постоянная. Это преобразование не соответствует непосредственно никакому конкретному четырехполюснику. Оно обладает свойством отображать бесконечно протяженную правую половину комплексной плоскости на внутренность круга с радиусом, равным единице, на так называемый «единичный круг», т. е. на ограниченную площадь. Этот факт имеет большое значение, поскольку на практике приходится иметь дело с сопротивлениями и проводимостями, которые изображаются любыми точками на бесконечно протяженной травой полуплоскости; внутри же единичного круга они изображаются точками, которым соответствуют конечные значения.

Рис. 8.1. Отображение с помощью преобразования правой комплексной полуплоскости на внутренность единичного круга. Окружности получены в результате отображения сетки декартовой системы координат правой полуплоскости.

Если в выражение (8.1) подставлять действительные значения то всегда будем получать действительные значения Таким образом, круговое преобразование К отображает действительную ось саму на себя.

Взяв точку получим для точки получим Обозначим величины, полученные с помощью преобразования (8.1), добавлением сверху индекса Тогда какое-то значение, полученное преобразованием величины равно Мнимая ось плоскости геометрически однозначно определяется как окружность, проходящая через точки и перпендикулярная действительной оси. Таким образом, ее отображением на плоскости должна быть окружность, которая проходит через точки и пересекает в этих точках действительную ось под прямым углом, т. е. так называемая «единичная окружность» (рис. 8.1). Точка дает Отсюда следует, что круговое преобразование обладает свойством отображать правую полуплоскость комплексных чисел на внутренность единичного круга.

Из закона сохранения направления отсчета углов следует что угол, образуемый действительной осью с верхней половиной мнимой оси в начале координат плоскости должен иметь такое же направление, как и угол, образуемый действительной осью с единичной окружностью в точке Это означает, в частности, что верхняя половина правой полуплоскости соответствует верхней половине единичного круга.

Для того чтобы более наглядно представить себе преобразование К, посмотрим, в какие кривые на плоскости переходит декартова система координат плоскости Согласно законам круговой геометрии прямые, параллельные мнимой оси в плоскости переходят на плоскость в семейство окружностей, проходящих через точку и пересекающих действительную ось под прямым углом. Прямые, параллельные действительной оси в плоскости переходят на плоскость в окружности, проходящие через точку они касаются в этой точке действительной оси и перпендикулярны окружностям первого семейства (рис. 8.1). Взаимную связь между действительными значениями плоскостей легко можно установить из выражения (8.1). Она может быть получена также геометрически с помощью диаграммы, которая полностью аналогична диаграмме трансформации реактивных сопротивлений (рис. 5.1), за исключением того, что теперь речь идет о действительных осях. Перспективные центры и перспективная ось могут быть построены на основании того, что имеет место следующее отображение: точки в точки и точки

Взаимную связь между чисто мнимыми значениями, т. е. прямыми, параллельными действительной оси в плоскости и соответствующими окружностями в плоскости проще всего можно установить путем отображения биссектрис углов, образованных осями координат плоскости (Полученные при этом отображении в плоскости кривые являются двумя окружностями, проходящими через точки образующими с действительной осью углы в 45° (рис. 8.1) с центрами в точках Окружность, отображающая прямую, параллельную мнимой оси, проходящую через действительную точку пересекает отображение биссектрисы в той же точке, что и окружность, отображающая прямую, параллельную действительной оси, проходящую через точку или

На рис. 8.2 показано отображение полярной системы координат плоскости на плоскость согласно преобразованию (8.1). Лучи, проходящие в плоскости через начало координат, на плоскость отображаются окружностями, проходящими через точки и и образующими согласно закону сохранения углов в точке с действительной осью такие же углы, как и соответствующие им углы в плоскости

Рис. 8.2. Отображение правой комплексной полуплоскости на внутренность единичного круга. Окружности получены в результате отображения лучей, исходящих из начала координат и элементов концентрических окружностей, описанных вокруг начала координат, лежащих в правой комплексной полуплоскости.

Концентрические окружности в плоскости описанные вокруг начала координат, отображаются на плоскость окружностями, перпендикулярными к действительной оси и к единичной окружности (их центры лежат, таким образом, на действительной оси). Центр любой такой окружности найти, если в точке пересечения ее с единичной окружностью построить касательную к единичной окружности и продолжить ее до пересечения с действительной осью. Взаимная связь этих окружностей с концентрическими окружностями плоскости может быть установлена из соответствия значений для действительной оси, как это, например, делается в случае, показанном на рис. 8.1.

Вид обратного преобразования можно определить из уравнения (8.1), если решить последнее относительно При этом получим

В единичной окружности важными в геометрическом отношении являются лучи, проходящие через начало координат, и концентрические окружности, описанные вокруг рего (рис. 8.3). Выясним, каким кривым в правой полуплоскости они соответствуют. Луч, исходящий из центра единичной окружности, геометрически однозначно определяется тем, что он образует угол а с частью

действительной оси, проходящей в направлении от точки к точке исходит из точки и является перпендикулярным к единичной окружности.

Рис. 8.3. Система полярных координат внутри единичного круга.

Рис. 8.4. Семейства окружностей правой полуплоскости, соответствующие сетке полярных координат в единичном круге.

Поэтому в правой полуплоскости ему должна однозначно соответствовать окружность, которая, проходя через точку образует угол а с действительной осью и пересекает мнимую ось под прямым углом. Таким образом, лучам единичной окружности в правой полуплоскости соответствует семейство окружностей, проходящих через точку и перпендикулярных мнимой оси (рис. 8.4).

Концентрические окружности, описанные вокруг центра единичного округа, ортогональны лучам. В правой полуплоскости им соответствуют окружности, ортогональные окружностям первого семейства. Если концентрическая окружность пересекает действительную ось, например, в точках то соответствующая окружность в правой полуплоскости пройдет через точки

где, очевидно, Таким образом, второе семейство окружностей обладает тем свойством, что каждая из этих окружностей пересекает действительную ось под прямым углом в двух точках для которых выполняется равенство

Отображение (8.1) правой комплексной полуплоскостй на единичный круг наряду с теоретическим имеет также и практическое значение. Часто бывает целесообразнее вместо сопротивлений или проводимостей в плоскости комплексных чисел определять значения рассчитанные из соотношения

где является некоторым действительным числом. В то время как сопротивления или проводимости могут быть представлены любыми значениями на бесконечно протяженной правой комплексной полуплоскости, все соответствующие им точки которые называют сопротивлениями или (проводимостями единичного круга (кратко ЕК-сопротивления или ЕК-проводимости), лежат внутри описанной вокруг начала координат окружности с конечным радиусом, равным единице. При этом масштаб может быть взят как угодно большим. Различные геометрические построения в единичном круге выполняются проще и являются более наглядными.