12. ДИАГРАММЫ ТРАНСФОРМАЦИИ В ВИДЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СЕМЕЙСТВ ДЛЯ ЛЮБЫХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ БЕЗ ПОТЕРЬ

Пусть имеется диаграмма трансформации реактивных сопротивлений для четырехполюсника без потерь (|рис. 5.1). Из нее можно получить соответствующую диаграмму трансформации в виде ортогональных семейств, как это сделано в случае последовательного и параллельного реактивных сопротивлений, а также в случае симметричного Т-звена. Эта диаграмма позволяет непосредственно получить трансформированное значение любого комплексного сопротивления нагрузки [1].

Поступим следующим образом: построим сначала для произвольно взятого сопротивления нагрузки имеющего активную составляющую, его трансформированное значение (рис. 6.1). Построение дает побочный результат, который можно использовать. Окружность на рис. отображается в окружность Это означает, что и касательная к окружности в точке проведенная в направлении точки трансформируется четырехполюсником в касательную к окружности проведенную через точку в направлении точки При дальнейшем

построении будем точки и соответствующие ййпраё-ления касательных наносить не на различные плоскости комплексных чисел, как на рис. 6.1, а на одну и ту же плоскость. Это сделано на рис. 12.1, Где изображены

Тем, что четырехполюсник без потерь трансформирует сопротивление и направление, указанное стрелкой в направление, указанное стрелкой однозначно определяется соответствующее ему круговое отображение (см. закон однозначности 11.2). Чтобы найти искомую диаграмму, построим сначала (рис. 12.1) окружность Ко, которая проходит через точки и образует с направлениями один и тот же угол Равенство этих углов следует понимать таким образом, что при повороте окружности один угол должен переходить в другой. Как легко убедиться, имеется только одна такая окружность К. Находят ее с помощью следующих геометрических построений: проводят перпендикуляр к середине отрезка, соединяющего точки и продолжают направления, определяемые стрелками до пересечения их с перпендикуляром в точках Если обе стрелки указывают одновременно или в сторону этих точек пересечения или от них, то проводят биссектрису угла которая пересекает прямую в точке центре искомой окружности Ко. Если это условие для направления стрелок и не выполняется, то через точку нужно провести биссектрису внешнего угла треугольника точка пересечения ее с прямой будет искомым центром. Обосновать такое построение можно следующим образом: так как является перпендикуляром к середине отрезка,

Рис. 12.1. Построение диаграммы трансформации для четырехполюсника без потерь. Значения и направления, указанные стрелками (их можно взять, иапример, из рис. 6.1), наносятся на одну и ту же комплексную плоскость. Затем проводится окружность которая образует один и тот же угол с направлениями

соединяющего точки треугольники зеркально отображают друг друга. Следовательно,

Согласно построению а следовательно,

Поэтому три угла, обозначенные на рис. 12.1 буквой равны друг другу. Тогда угол, образованный стрелкой и радиусом очевидно, будет равен а угол, образованный стрелкой и касательной к окружности, равен

То же самое получается для углов, образованных стрелкой и радиусом или касательной к окружности в точке Тем самым доказано, что образуют с окружностью один и тот же угол

В зависимости от положения окружности возможны три случая, которым соответствуют различные диаграммы трансформации. Во-первых, окружность может целиком лежать в правой полуплоскости; в этом случае получается диаграмма трансформации эллиптического типа. Во-вторых, может касаться мнимой оси; это соответствует диаграмме параболического типа. Наконец, окружность может пересекать мнимую ось в двух точках, при этом получается диаграмма гиперболического типа.

Эллиптический случай

Пусть окружность целиком лежит в правой полуплоскости (рис. 12.2). Через центр окружности проведем прямую, параллельную действительной оси, которая пересечет окружность в точках Из равенства определим точку Диаграмма трансформации в случае будет состоять из семейства II всех окружностей, перпендикулярных мнимой оси и проходящих через точку (окружности постоянной фазы, на рис. 12.2 обозначены пунктиром), и из семейства I всех ортогональных к ним окружностей (окружности постоянного рассогласования). Таким образом, получается диаграмма очень похожая на диаграмму для симметричного Т-звена без потерь. Отличие состоит лишь в том, что точка через которую проходят окружности постоянной

фазы, как правило, не лежит на действительной оси. Докажем, что пользоваться этой диаграммой следует точно так же, как и диаграммой, упомянутой выше.

Рис. 12.2. Диаграмма трансформации эллиптического типа. получается из диаграммы, показанной на рис. 12.1, в случае, если окружность целиком лежит в правой полуплоскости. Диаграмма состоит из семейства I всех окружностей, центры которых лежат на прямой, параллельной действительной оси и проходящей через центр окружности (окружности семейства пересекают эту прямую таким образом, что для каждой из них произведение расстояний от точек пересечения до мнимой оси постоянно); и из семейства II всех окружностей, ортогональных к первому семейству. Трансформация представляет собой неевклидов поворот такой, что трансформированное значение остается лежать на той же самой окружности семейства I, а окружности семейства II поворачиваются вокруг точки их пересечения (фиксированной точки трансформации) на один и тот же угол Если поменять местами вход и выход четырехполюсника, диаграмма не изменяется; она лишь смещается таким образом, что прямая, представляющая собой зеркальное отображение действительной оси относительно точки (показана жирным пунктиром), переходит в действительную ось.

Рис. 12.3. Схема, используемая для обоснования диаграммы, которая изображена на рис. 12.2.

Трансформация и в этом случае представляет собой неевклидов поворот вокруг точки на такой угол а, что точка переходит в Окружность Ко, в частности, является окружностью семейства I, которая переходит сама в себя.

Это можно доказать с помощью закона круго-геометрической однозначности 11.2, построив соответствующий четырехполюсник. Для этой цели возьмем последовательное реактивное сопротивление (рис. 12.3) и добавим к нему симметричное Т-звено без потерь, которому соответствует действительная

фиксированная точка и угол поворота а, затем подключим еще последовательное реактивное сопротивление Построенный таким образом четырехполюсник действительно обладает перечисленными выше свойствами. В самом деле, последовательное реактивное сопротивление сдвигает плоскость комплексных чисел параллельно самой себе так, что перпендикуляр к мнимой оси, проходящий через точку становится действительной осью. Точка смещенная на величину является для Т-звена фиксированной точкой, и вокруг нее происходит поворот на угол а. При этом в соответствии с выбранным положением точки окружность , сдвинутая на переходит сама в себя, точка в точку и направление, определяемое стрелкой сдвинутой на согласно закону сохранения углов — в направление, определяемое стрелкой также сдвинутой на Наконец, последовательное реактивное сопротивление возвращает действительную ось в ее первоначальное положение. Но поскольку существует лишь одно отображение окружности, при котором точка переходит в точку и направление в направление (четырехполюсников с такими свойствами имеется, конечно, бесконечно большое число), наше утверждение доказано.

Параболический случай

Пусть окружность касается мнимой оси в точке (рис. 12.4). В этом случае диаграмма трансформации состоит из семейства I всех окружностей, которые касаются мнимой оси в точке (сплошные линии), и семейства II всех окружностей, которые в точке перпендикулярны мнимой оси (пунктирные линии). Этой диаграммой следует пользоваться точно так же, как и диаграммой для параллельного реактивного сопротивления, учитывая лишь, что точка в общем случае не совпадает с началом координат.

Для доказательства этого снова воспользуемся законом однозначности, построив соответствующий четырехполюсник. Последний составим из последовательного реактивного сопротивления перед которым включим параллельное реактивное сопротивление; как это видно из пояснений к рис. 7.4, его следует выбирать так, чтобы сопротивление трансформировалось в наконец, к полученной схеме подключим последовательное реактивное сопротивление

Чтобы для какой-либо окружности семейства II легко можно было найти окружность, являющуюся ее отображением и относящуюся к тому же семейству, диаграмму можно скомбинировать с диаграммой трансформации реактивных сопротивлений для четырехполюсника, как это было сделано в случае параллельного реактивного сопротивления.

Рис. 12.4. Диаграмма трансформации параболического типа. Получается в случае, когда окружность . показанная на рис. 12.1, касается мнимой оси в точке она аналогична диаграмме трансформации для параллельного реактивного сопротивления (рис. 7.4) и отличается от нее лишь тем, что фиксированная точка в общем случае не совпадает с нулевой точкой. Если вход и выход четырехполюсника поменять местами, то прямая, представляющая собой зеркальное отображение действительной оси относительно фиксированной точки (показана жирным пунктиром), станет действительной осью.

Если окружность вырождается в прямую, рараллельную мнимой то это означает, что рйсружность касается мнимой оси в точке случае именем дело с трансформирующими свойствами последовательного чисто реактивного сопротивления величиной

Гиперболический случай

Пусть окружность пересекает мнимую ось в двух точках (рис. 12.5). На этой диаграмме семейство окружностей I состоит из всех окружностей, проходящих через точки (сплошные линии), а семейство II — из ортогональных к ним окружностей (пунктирные линии). Диаграммой пользуются также, как и в гиперболическом случае для «симметричного Т-зве-на, только здесь точки в общем случае уже не лежат симметрично относительно действительной оси.

Для доказательства снова используем закон однозначности и построение четырехполюсника. В последний войдет последовательное реактивное сопротивление к которому подключено соответствующее симметричное Т-звено. К этой схеме добавляется еще одно последовательное реактивное сопротивление В частном

случае роль окружности Ко может играть прямая, пересекающая мнимую ось только в одной точке В этом случае вторая фиксированная точка лежит в бесконечности и трансформация сводится к простому увеличению всех расстояний, отсчитываемых от точки причем лучи, проходящие через точку отображаются сами на себя.

Рис. 12.5. Диаграмма трансформации гиперболического типа. Она получается в случае, когда окружность показанная на рис. 12.1, пересекает мнимую ось в двух точках (фиксированные точки). Эта диаграмма аналогична диаграмме, изображенной на рис. 10.3, и отличается от нее лишь тем, что фиксированные точки располагаются обычно несимметрично по отношению к действительной оси.

Рис. 12.6. Прямая, преобразованная из окружности. Если окружность изображенная на рис. 12.1, вырождается в прямую, которая пересекает мнимую ось в точке то трансформация представляет собой увеличение в одно и то же, выражаемое действительной величиной, число раз всех расстояний от фиксированной точки.

Если точка совпадает с началом координат, то очевидно, что имеем дело с диаграммой трансформации идеального трансформатора без рассеяния и без потерь. Так как диаграмма последнего выражает увеличение расстояний, то выводы для случая можно получить из закона однозначности 11.2 при использовании вспомогательного четырехполюсника, который строится аналогично описанному выше применением трансформатора.

Итак, все возможные положения окружности Ко рассмотрены и соответственно исследованы все типы диаграмм для четырехполюсников без потерь. С помощью этих диаграмм можно раз и навсегда представить установленные путем измерений трансформирующие свойства любого

четырехполюсника на данной частоте. Для определения трансформирующих свойств четырехполюсника нет необходимости, конечно, каждый раз строить всю диаграмму, а достаточно в эллиптическом случае, например, задать фиксированную точку и угол поворота, а в параболическом и гиперболическом случаях построить фиксированные точки и диаграмму трансформации реактивных сопротивлений

Тем же способом, что и для полных сопротивлений, диаграммы трансформации можно построить для проводимостей. Однако их можно получить и непосредственно из диаграмм трансформации полных сопротивлений.

В случае симметричных четырехполюсников значения фиксированных точек называются «волновыми сопротивлениями», в случае несимметричных — «сопротивлениями цепи».

Общие замечания относительно диаграмм трансформации в виде ортогональных семейств

Рекомендуется всегда иметь под рукой хорошо вычерченные диаграммы эллиптического, параболического и гиперболического типов. При этом для эллиптической диаграммы расстояние фиксированной точки от мнимой оси, а для гиперболической диаграммы половину расстояния между фиксированными точками следует выбирать равными единице длины (например, одному дециметру). Диаграммы будут универсальными, если на них соответственно нанести значения «относительных сопротивлений» или «относительных проводимостей». Это означает, что если четырехполюснику соответствует диаграмма эллиптического типа, фиксированная точка которой расположена от мнимой оси на расстоянии А, или если в случае гиперболической диаграммы расстояние между двумя фиксированными точками составляет то целесообразно вместо абсолютных значений сопротивлений и проводимостей нанести на прозрачной бумаге относительные значения

Пригодная для всех случаев сетка ортогональных семейств окружностей помещается затем под прозрачную бумагу, так что повторное вычерчивание этих ортогональных семейств окружностей становится излишним. Все остальные построения, например построения

соответствующих диаграмм трансформации реактивного сопротивления, выполняются на этой, наложенной сверху прозрачной бумаге.

В случае диаграммы трансформации эллиптического типа с действительной фиксированной точкой, особенно в случае нормализованной диаграммы, когда значение фиксированной точки равно единице (рис. 12.7), переход от полных сопротивлений к проводимостям и обратно очень прост. Действительно, во-первых, в результате такого перехода получается идентичная диаграмма с той же фиксированной точкой и тем же углом поворота; во-вторых, для каждого значения нормированного сопротивления (или проводимости) из диаграммы легко определяется значение нормированной проводимости (или сопротивления) Соответствующая точка лежит на той же окружности постоянного рассогласования и на той же окружности постоянной фазы и лишь отсчет расстояния от фиксированной точки до нее производится в обратном направлении.

Рис. 12.7. Переход от сопротивлений к проводимостям и трансформация малых расстояний. Если четырехполюсник без потерь трансформирует две точки и расположенные близко друг к другу в точки то отношение расстояний между ними равно отношению расстояний от этих точек до мнимой оси.

Это можно объяснить следующим образом: при обращении (переход от нормированных проводимостей к нормированным сопротивлениям и наоборот) значение к переходит или переходит в т. е. окружность отображается сама на себя. Но в силу закона сохранения углов окружность также переходит сама в себя, и меняются местами только направления, определяемые стрелками, исходящими из точки 1. Если, например, нормированное сопротивление трансформируется в то нормированная проводимость трансформируется в Для точного определения отображения точки, которая не расположена ни на одной из кривых сетки окружностей ортогональных семейств, можно с успехом использовать закон 11.3 об отображении малых расстояний. Если, например, в случае диаграммы трансформации эллиптического типа, представленной на рис. 12.7, нужно найти

точку являющуюся отображением точки из точки проводится прямая, перпендикулярная к окружности До точки пересечения с последней. После чего с помощью соотношения

определяется положение точки лежащей на окружности .

Проведя перпендикуляр через точку на окружности и используя соотношение находим точку

Построение диаграммы по результатам измерений сопротивлений с активной составляющей

Выше было показано, как на основании измерений чисто реактивных сопротивлений можно построить диаграммы трансформации в виде ортогональных семейств. Их можно построить, конечно, и при измерении сопротивлений с активной составляющей. Это бывает, например, необходимым при точном определении положения фиксированной точки в случае диаграммы эллиптического типа, когда изучается трансформация сопротивлений, значения которых близки к значению этой фиксированной точки.

Рис. 12.8. Построение диаграммы трансформации по результатам измерений трансформации для двух сопротивлений с активными составляющими.

В случае четырехполюсника без потерь достаточно установить закон трансформации только для двух сопротивлений с активной составляющей. Пусть на основании измерений установлено, что четырехполюсник трансформирует сопротивление сопротивление (рис. 12.8). Проведем через точки окружность перпендикулярную мнимой оси, через точки и аналогичную окружность Направление, определяемое касательной, проведенной через точку в сторону точки при данной

круговой трансформации переходит в направление, определяемое касательной, проходящей через точку ориентированной в сторону точки Дальнейшие построения аналогичны построениям, представленным на рис. 12.1.