2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Уравнение (1.7) выражает как дробно-линейную функцию Аналогичным является и уравнение (1.8), где представляет собой дробно-линейную функцию от т. е. на данной частоте значения являются постоянными комплексными числами, переменными же величинами являются только или Для того чтобы не делать различия между сопротивлением и проводимостью, обозначим, как обычно делают в математике, независимую переменную или через 2, а зависимую переменную или через

Исследуем более подробно функцию

в которой являются некоторыми комплексными постоянными, выбираемой произвольно комплексной переменной. Для этого необходимо кратко познакомиться с правилами действия над комплексными числами.

Действия над комплексными числами

Как известно, комплексное число а геометрически можно изобразить в виде точки на плоскости комплексных чисел. При этом действительная часть а выражения откладывается на действительной оси, а мнимая часть — на перпендикулярной к ней мнимой оси (рис. 2.1). Полученное таким образом значение можно изобразить не только в виде геометрической точки, но и в виде вектора, проведенного к этой точке из начала координат.

Рис. 2.1 Геометрическое изображение комплексных чисел а, и

Длина вектора а определяет модуль комплексного числа, угол который вектор образует с положительной действительной осью, определяет его аргумент. Положительное направление отсчета угла против часовой стрелки. В примерах, показанных на рис. 2.1, комплексному числу соответствует аргумент а комплексному числу аргумент или

Любое комплексное число может быть также выражено через его модуль и аргумент

Поскольку

вместо выражения (1.10) можно также записать

В справедливости тождества (2.3) легко убедиться, воспользовавшись выражениями для бесконечных рядов

При этом угол должен быть выражен в радианах. Если первый из этих рядов сложить со вторым, умноженным

на получится третий ряд. Этим доказана справедливость выражения (2.3). Два комплексных числа складываются или вычитаются путем геометрического сложения или вычитания соответствующих им векторов (рис. 2.2).

Произведение двух комплексных чисел согласно (2.4) определяется следующим выражением:

а частное — выражением

Непосредственно из уравнения (2.5) можно видеть, что для получения произведения двух комплексных чисел достаточно умножить их модули и сложить аргументы (рис. 2.3).

Частное двух комплексных чисел получим согласно (2.6), разделив их модули и вычтя аргументы.

Рис. 2.2. Сложение двух комплексных чисел

Рис. 2.3. Умножение двух комплексных чисел

Таково краткое изложение правил действия над комплексными числами.

Согласно преобразования (2.1) каждой точке плоскости комплексных чисел взаимно однозначно соответствует точка Убедиться во взаимной однозначности можно, если уравнение (2.1) решить относительно что даст однозначную обратную функцию

Поскольку в целях наглядности часто точки в плоскости комплексных чисел наносят на два различных листа бумаги, то говорят также о преобразовании или об

отображении плоскости на плоскость осуществляемом согласно уравнения (2.1).

Прежде чем приступить к исследованию дробно-линейной функции общего вида и ее отображения, целесообразно рассмотреть некоторые частные случаи. Однако прежде всего необходимо пояснить задачу на наглядном примере.

Простейшим отображением, которое известно каждому, является фотографический снимок. Если сфотографировать белую стену бесконечной протяженности, то по снимку нельзу установить, имеет ли место увеличение или уменьшение расстояний, сфотографирована ли стена прямо или под углом. Сравнение между оригиналом и снимком становится возможным только тогда, когда на стену нанесены какие-либо фигуры, например в простейшем случае кривые. Точно так же обстоит дело при отображении, которое выражается дробно-линейной функцией. И в этом случае будем рассматривать не совокупность всех точек плоскости комплексных чисел, а возьмем на плоскости лишь точки какой-нибудь кривой и посмотрим, что получится из этой кривой при отображении.

Сдвиг w = z+a

Пусть Тогда из выражения (2.1) получим

где Этим соотношением, например, выражаются трансформирующие свойства четырехполюсника (рис. 1.2), который состоит только из одного последовательного сопротивления

Согласно равенства (2.8) любому значению однозначно соответствует точка которая получается в результате векторного сложения величин На рис. это сложение произведено для нескольких точек и одной и той же произвольно выбранной комплексной величины а.

Очевидно, что точки можно легко получить простым перемещением отдельных точек на расстояние, равное Для совокупности всех точек комплексной плоскости такое сложение можно наглядно представить себе, если плоскость сдвинуть, как сдвигают лист бумаги, на расстояние а. Поэтому отображение, выражаемое равенством (2.8), называется сдвигом.

Для изучения преобразования (2.8) рассмотрим, вб-первых, семейство I всех прямых, параллельных вектору а, и, во-вторых, семейство II всех прямых, перпендикулярных к линиям первого семейства. Пусть точки лежат на примой параллельной вектору а. Их отображенные значения останутся на той же прямой.

Рис. 2.4. Геометрическое изображение функции сдвига Прямые, параллельные вектору о (семейство I), переходят сами в себя. Перпендикулярные к ним прямые (семейство II) смещаются и переходят в другие прямые того же семейства.

Иными словами, прямые, параллельные вектору а, в результате преобразования (2.8) отображаются каждая сама «а себя. Точки лежащие на прямой, перпендикулярной вектору а, после отображения также будут лежать на прямой, перпендикулярной вектору а, но на какой-то другой. Таким образом, прямые перпендикулярные вектору а, при отображении (2.8) переходят в такие же прямые, но уже смещенные параллельно друг другу на один и тот же отрезок. Если на плоскости взять какую-либо кривую, то ту же самую кривую мы получим в качестве ее отображения на плоскости

Преобразование подобия w=pz

Рассмотрим второй частный случай дробно-линейной функции (2.1), когда где положительное действительное число, т. е. случай

(Это уравнение выражает трансформирующие свойства идеального трансформатора.) Значения для всех точек комплексной плоскости в этом случае умножаются на чисто действительную величину Умножение комплексного числа на действительное число означает увеличение модуля вектора раз. Чтобы изучить отображение, описываемое выражением (2.9), лучше всего рассмотреть

В плоскости комллексных чисел совокупность всех лучей, исходящих из начала координат, и совокупность всех описанных вокруг начала координат, концентрических окружностей (рис. 2.5). Все точки например которые лежат на одном и том же луче; исходящем из начала координат, после преобразования переходят в точки лежащие на том же луче. Точки концентрической окружности, описанной вокруг начала координат, после преобразования переходят в точки также расположенные на концентрической окружности с центром в начале координат. Полученный результат может быть сформулирован следующим образом. При отображении согласно выражения (2.9) каждый из лучей, исходящих из начала координат, переходит сам в себя; концентрические же окружности, описанные вокруг начала координат, переходят также в концентрические окружности, но уже с другими радиусами. При этом отображении имеет место линейное увеличение или линейное уменьшение всех расстояний от начала координат и поэтому оно называется преобразованием подобия. Все кривые плоскости 2 отображаются на плоскость геометрически подобными кривыми.

Рис. 2.5, Геометрическое представление функции Каждый из лучей, исходящих из начала координат (семейство I), отображается сам на себя, концентрические окружности (семейство II) отображаются на другие концентрические окружности того же семейства.

Поворот w=exp(jf)z

Возьмем теперь вместо как это было сделано в предыдущем частном случае, Длина, или модуль любого вектора вида (рис. 2.6), равна единице, и поэтому такие векторы называются единичными. Угол определяет направление, которое единичный вектор образует с положительным направлением действительной оси, при этом за положительные принимаются углы, отсчитываемые против часовой стрелки.

Любое комплексное число всегда можег быть представлено в виде

Откуда

Это означает, что при отображении (2.10) все векторы поворачиваются на угол против часовой стрелки, оставаясь неизменными по длине.

Рис. 2.6. Часть единичной окружности (т. е. окружности с радиусом равным единице), описанной вокруг начала координат, на которой лежат комплексные числа вида

Отображение, описываемое уравнением также удобнее всего исследовать с помощью семейства лучей, исходящих из начала координат, и семейства концентрических окружностей, описанных вокруг него. Каждая из концентрических окружностей, описанная вокруг начала координат, переходит сама в себя, а лучи, исходящие из начала координат, — в другие лучи, также исходящие из начала координат. При отображении (2.10) имеет место поворот комплексной плоскости вокруг начала координат на угол в направлении против часовой стрелки. Все кривые на плоскости отображаются в этом случае на плоскость теми же самыми кривыми.

Обращение w= 1/z

Рассмотрим теперь частный случай при котором т. е. отображение вида

Для его изучения целесообразно снова использовать представление комплексного числа в виде При этом получим

Очевидно, что комплексное число имеет обратное по отношению к значение модуля и аргумент , равный по величине аргументу но противоположный ему по знаку (рис. 2.7).

Для исследования отображения в комплексной плоскости также целесообразно рассмотреть семейство

лучей, исходящих из начала координат, и семейство концентрических окружностей, описанных вокруг него (рис. 2.8). Точки которые лежат на одном и том же луче, исходящем из начала координат, и которым, следовательно, соответствует одинаковый аргумент после отображения перейдут в точки лежащие на одном и том же, исходящем из начала координат луче, которому соответствует отрицательный аргумент Точкам лежащим на одной из концентрических окружностей, описанной вокруг начала координат, соответствует один и тот же модуль После отображения (2.111) получаются точки с обратной и также одинаковой величиной модуля Поэтому все эти точки должны лежать на одной и той же концентрической окружности, описанной вокруг начала координат. Итак, при отображении (2.11), называемом обращением, лучи, исходящие из начала координат, переходят в лучи, также исходящие из начала координат, а концентрические

Рис. 2.7. Обратная величина комплексного числа

Рис. 2.8. Геометрическое представление функции а — комплексная плоскость со значениями (плоскость ); б - комплексная плоскость со значениями (плоскость Одинаково изображенные линни и площадн соответствуют друг другу.

окружносги, описанные вокруг начала координат, в такие же концентрические окружности. Для наглядности на рис. 2.8 плоскости показаны раздельно, а пунктиром и стрелками обозначены соответствующие друг другу кривые и точки.

Действительные значения при отображении также дают действительные значения Таким образом, действительная ось отображается сама на себя: положительная полуось — на положительную, а отрицательная — на отрицательную. Точка дает точку точку точки со значениями переходят в точки со значениями точки наоборот, в точки Отрезок действительной оси, расположенный между точками и , переходит в другой отрезок действительной оси, заключенный между и наоборот. То же самое относится и отрицательной действительной полуоси.

Точкам 2, которые лежат на одной из концентрических окружностей, описанной вокруг начала координат и проходящей через точку 1, соответствует модуль, равный единице. Поэтому отображенные точки должны лежать на той же окружности. Поскольку эта окружность имеет единичный радиус, она называется единичной окружностью. Таким образом, единичная окружность при отображении переходит сама в себя, причем, как это легко можно увидеть, каждая точка единичной окружности переходит в точку, расположенную зеркально по отношению к действительной оси.

Концентрические окружности, лежащие на плоскости внутри единичного круга (т. е. круга с единичным радиусом), отображаются на плоскость в окружности, лежащие вне последнего, а концентрические окружности, расположенные на плоскости вне единичного круга, переходят в концентрические окружности плоскости расположенные внутри его. Чем меньше радиус концентрической окружности в плоскости тем больше радиус соответствующей ей окружности в плоскости Заштрихованная площадь на плоскости (рис. 2.8,а) отображается на заштрихованную площадь плоскости (рис. и дважды заштрихованная площадь на плоскости (рис. 2.8,а) отображается на дважды заштрихованную площадь плоскости (рис. 2.8,6).

Будем уменьшать радиус концентрической окружности, описанной вокруг начала координат в плоскости т. е. устремим к нулю радиус этой окружности, тогда в

плоскости радиус соответствующей окружности будет стремиться к бесконечности и наоборот. Внутренняя часть произвольного малого круга с центром в начале координат, расположенного на плоскости при отображении становится внешней частью некоторого большого круга плоскости с тем же центром. И наоборот, внешняя часть произвольного большого круга в плоскости отображается на внутреннюю часть малого круга плоскости Таким образом, любая кривая на плоскости уходящая в бесконечность, дает на плоскости кривую, которая стремится к началу координат и наоборот, любая кривая на плоскости проходящая через начало координат, дает на плоскости кривую, стремящуюся в бесконечность. В этом случае говорят, что три трансформации, выполняемой согласно выражению (2.11), начало координат шлоокости отображается в плоскости на точку с, а точка плоскости отображается на начало координат плоскости

Так как отображение любой точки является взаимно однозначным, в частности взаимная однозначность существует также и для точек и то для простоты говорят о бесконечно-удаленной точке.

Как это становится очевидным, при рассмотрении заштрихованных площадок, показанных на рис. 2.8, отображение (2.11) в общем случае не дает геометрически подобного преобразования фигур. При отображении они искажаются: более короткая, изображенная пунктиром дуга окружности на заштрихованной площадке плоскости соответствует более длинной, изображенной пунктиром дуге окружности на заштрихованной площадке плоскости

Однако есть некоторые геометрические свойства, которые при обращении остаются неизменными. Так, например, любая окружность на плоскости отображается также окружностью на плоскости наоборот, поскольку функция является также обращением, каждая окружность в плоскости является отображением некоторой окружности, лежащей в плоскости Докажем это.

Как известно из аналитической геометрии, кривая представляет собой окружность, если зависимость

между составляющими х и у выражается следующим образом:

Где действительные постоянные.

Так как получим

где

Если в качестве точек взять только те точки, для которых относительно х и у выполняется соотношение (2.12) (т. е. те точки которые лежат на одной окружности), то соответствующие величины будут связаны соотношением

Для его доказательства достаточно подставить выражение (2.13) в (2.14).

В результате получим

что после умножения на дает соотношение (2.12). Это означает, что если точка в комплексной плоскости описывает окружность и, следовательно, ее координаты связаны между собой соотношением (2.12), то точка также описывает окружность, поскольку ее координаты связаны аналогичным соотношением. Это относится также и к частным случаям В первом случае все значения а во втором случае все значения лежат на прямой, т. е. на окружности с бесконечно большим радиусом. Поэтому под окружностью в круговой геометрии понимают, в частности, и прямую линию. Таким образом, согласно приведенным выше соображениям все окружности, проходящие на плоскости через начало координат, при переходе к плоскости должны стать окружностями, проходящими через бесконечно-удаленную точку, т. е. обычными прямыми, а все прямые плоскости должны на плоскости стать окружностями, проходящими через (начало координат.

Следующее важное свойство обращения заключается в том, что две пересекающиеся на плоскости под определенным углом кривые на плоскости дают кривые, которые пересекаются под тем же самым углом, причем направление отсчета угла сохраняется. Для доказательства рассмотрим точку и расположенную вблизи от нее точку При обращении точка переходит в точку а точка в точку

При достаточно малых высокими степенями можно пренебречь, и тогда получим

Таким образом,

Рассмотрим теперь вблизи точки две точки, находящиеся от нее на расстоянии

Пусть является точкой пересечения двух кривых, указывают направление проходящих через нее двух кривых, которые образуют друг с другом угол а. Тогда согласно выражения (2.15) в качестве отображения трех точек получаются три точки

Таким образом,

Следовательно, направления, соответствующие образуют такой же угол а, как и направления, соответствующие приращениям Это означает, что обе отображенные кривые пересекаются под тем же углом а, что и исходные кривые в плоскости причем и направление отсчета угла также остается прежним.

Поскольку множитель в выражении (2.15) является постоянной величиной, очевидно, что площадь, ограниченная малой окружностью с радиусом описанной вокруг точки в плоскости геометрически подобно отображается площадью, ограниченной окружностью с радиусом

Таким образом, достаточно малые элементы плоскости при обращении отображаются геометрически подобными элементами плоскости при больших же площадях имеет место искажение.

Далее, важным свойством обращения является инвариантность двойного отношения для четырех точек.

Смещение и поворот дают отображения геометрически совпадающие, другими словами, расстояние между двумя произвольными точками при отображении их в точки в этих случаях остается неизменным. При преобразовании подобия отображенные фигуры являются в геометрическом отношении только подобными. Расстояние между двумя точками в этом случае уже не будет сохраняться. Если же рассмотреть три произвольные точки и соответствующие им точки то отношение соответствующих расстояний между ними остается постоянным, а именно:

Обращение же этим свойством не обладает. С другой стороны, если взять какие-либо четыре точки и соответствующие им точки то всегда будет выполняться соотношение

поскольку

Соотношение (2.16), устанавливающее зависимость между называют «двойным отношением» для четырех точек сокращенно записывают в виде

После рассмотрения этих частных случаев можно обратиться к общему случаю дробно-линейного преобразования (2.1).

Общий случай дробно-линейного преобразования

Выражение (2.1) можно преобразовать следующим образом:

Примем

где следует рассматривать последовательно как зависимые и независимые комплексные переменные. Таким образом, из преобразования (2.1) получен ряд более простых рассмотренных уже преобразований. Далее можно рассуждать следующим образом. С помощью поворота плоскость отображается сначала на плоскость о (рис. 2.9). После этого плоскость с помощью преобразования подобия отображается на

плоскость и, плоскость и с помощью сдвига на плоскость плоскость в результате обращения на плоскость Плоскость путем поворота и преобразования подобия отображается на плоскость наконец, плоскость с помощью сдвига плоскость

Рис. 2.9. Представление общего случая дробно-линейного преобразования рядом последовательных преобразований:

Следовательно, общий случай преобразования (2.1) может рассматриваться как совокупность сдвигов, поворотов, преобразований подобия и обращения. На основании этого факта и выводятся его геометрические свойства.

Взяв какую-либо окружность на плоскости мы получим последовательно окружность на плоскостях наконец, на плоскости Таким образом, в самом общем виде доказано утверждение о том, что если точка описывает в комплексной плоскости окружность, то получаемая при дробно-линейном преобразовании (2.1) точка плоскости также будет описывать окружность. При этом, как уже отмечалось, прямые линии должны также рассматриваться, как окружности, которые отличаются от обычных окружностей лишь тем, что проходят через бесконечно-удаленную точку. Бесконечно-удаленная точка плоскости как это следует непосредственно из равенства

(2.17), однозначно отображается в точку наоборот, однозначным отображением точки является точка

Две исходящие из точки кривые которые в этой точке образуют угол а, дают после каждого из преобразований (2.18) две кривые, исходящие из одной точки и расположенные по отношению друг к другу под тем же самым углом а. Таким образом, в плоскости мы получим две кривые исходящие из точки и расположенные под углом а относительно друг друга. При этом сохраняется также и направление отсчета угла. Это означает, что если от кривой угол отсчитывается, например, по часовой стрелке, то так же он будет отсчитываться и для соответствующих кривых

Если четыре произвольные точки плоскости при преобразовании (2.1) отображаются через плоскости в четыре соответствующие точки плоскости то всегда выполняется соотношение.

Таким образом, получаются следующие законы, применимые к дробно-линейной функции общего вида (2.1).

Закон 2.1 о сохранении формы окружностями

Пусть точка описывает окружность в комплексной плоскости. Тогда при любом дробно-линейном преобразовании точка также будет описывать окружность. При этом прямые линии считаются окружностями, проходящими через бесконечно-удаленную точку. Следовательно, прямые в плоскости при отображении дают на плоскости семейство окружностей, проходящих через точку

Благодаря этому свойству при рассмотрении дробнолинейных функций говорят о круговых преобразованиях, круговых отображениях и круговой геометрии.

Закон 2.2 о сохраиеиин углов

Две кривые исходящие из точки и образующие в точке угол а, после кругового преобразования дают две кривые исходящие из точки пересекающиеся в этой точке под тем же углом а; при этом направление отсчета угла остается неизменным.

Закон 2.3 об инвариантности двойного отношения при круговых преобразованиях

Если с помощью кругового преобразования четыре произвольные точки плоскости отображаются в четыре соответствующие точки то всегда выполняется соотношение (2.16)

Значение кругогеометрнчеоких законов 2.1 и 2.2 состоит в том, что при исследовании дробно-линейной функции четырехполюсника (форм. 1.7 или 1.8) значительно сокращаются расчетные работы. Поэтому в дальнейшем часто будет использоваться тот факт, что при круговых преобразованиях окружности переходят в окружности, а углы и направления их отсчета сохраняются.

Двойное отношение также имеет исключительно важное значение. Если задан какой-либо четырехполюсник, то прежде всего необходимо определить его постоянные Это всегда можно сделать, если не математически, то путем трех измерений. К выходу четырехполюсника последовательно подключаются три сопротивления, которые можно обозначить или сокращенно ). Затем с помощью измерений определяется, в какие значения ) эти сопротивления трансформируются четырехполюсником. На основании этих измерений можно составить три уравнения вида

, из которых с помощью выражения (1.4) могут быть вычислены постоянные Двойное отношение, записанное в виде (2.16), дает непосредственно уравнение, которое В неявном виде выражает как функцию если в (2.16) подставить вместо величины подключенных сопротивлений вместо переменное сопротивление нагрузки вместо измеренные значения и вместо значение При этом получим

Соотношение (2.19) при постоянных заданных значениях и измеренных значениях как легко можно убедиться после некоторых преобразований, выполнение которых мы предоставляем читателю, действительно является дробно-линейной функцией от Если в (2.19) вместо подставить значение а вместо R - соответствующее значение то уравнение (2.19) удовлетворяется. Этим показано, что полученная дробно-линейная функция действительно обладает вышеуказанными свойствами.

Наконец, из (2.16) следует также, что круговое преобразование однозначно определяется преобразованием трех точек. Возьмем три произвольные точки плоскости и также совершенно произвольно три точки Тогда любой четвертой точке согласно уравнению (2.16) будет однозначно соответствовать точка На основании этого можно сформулировать следующий закон.

Закон однозначности 2.4

Всегда существует такое круговое преобразование, при котором три произвольные точки отображаются в три другие произвольные точки Этим условием круговое преобразование определяется однозначно.

Если, в частности, взять то круговое преобразование должно выражаться тождеством При дробно-линейных преобразованиях, которые не являются тождествами, неизменными могут оставаться самое большее две точки Эти точки получили название «фиксированных точек» кругового отображения. Из выражения (2.1) можно получить уравнение для определения значений фиксированных точек

откуда

Это выражение является квадратным уравнением и всегда дает две фиксированные точки которые при определенных условиях могут совпадать. Отсюда следует:

Закон 2.5

Круговое преобразование всегда имеет две фиксированные точки которые при определенных условиях могут совпадать.

бчевидно, что сдвиг в качестве фиксированной точкй может иметь только точку преобразование подобия и поворот — фиксированные точки и а обращение — фиксированные точки .

Наряду с указанными законами большое значение имеют также так называемые «групповые законы» кругового преобразования. Пусть имеется произвольная дробнолинейная функция

Сокращенно она может быть представлена в виде

Уравнение (12.1) можно решить относительно и получить в результате этого однозначную функцию

которая в сокращенном виде может быть записана как

Показатель степени при А имеет здесь лишь символическое значение и свидетельствует о том, что приходится иметь дело с функцией, обратной функции Эта обратная функция, также является дробно-линейной. Она всегда однозначна.

Очевидно, что

Еще более кратко это можно записать символически;

Через здесь обозначен «единичный элемент», соответствующий тождеству

Поясним это. Соотношение (2.20) говорит о том, что если вначале произвести круговое преобразование А, а затем обратное преобразование то, по существу, никакого преобразования не будет. Будет иметь место лишь равенство (сокращенно выражаемое символом о же самое получается, если сначала проделать обратное преобразование а затем преобразование (поскольку последнее также является обратным преобразованием для

Если произвести Круговое преобразование общего вида (2.1), а затем еще круговое преобразование

то результат последовательного применения обоих круговых преобразований

также является круговым преобразованием.

При сокращенной записи выражение для последовательного применения этих преобразований ] также определяет дробно-линейное преобразование. Другими словами, если круговые преобразования, то и последовательное применение их

также является круговым преобразованием.

Физическим примером этого может служить последовательное включение двух четырехполюсников, эквивалентное одному новому четырехполюснику, трансформирующие свойства которого могут быть определены с помощью дробно-линейной функции. Из последнего примера видно, что в общем случае Таким образом, обычно нельзя менять последовательность круговых преобразований (как и последовательность включения четырехполюсников).

Если мы имеем дело с тремя круговыми преобразованиями то справедливо следующее соотношение:

Таким образом, (последовательное выполнение трех преобразований, осуществляемых, например, путем последовательного включения трех четырехполюсников, возможно двумя способами, которые, как это легко установить, дают одинаковый результат.

Первая возможность состоит в том, что сначала образуют преобразование исключив на первых порах из рассмотрения преобразование этом два расположенных сзади четырехполюсника объединяют в один новый четырехполюсник и определяют его свойства), а затем результат подставляют в преобразование первый четырехполюсник объединяют с полученным). Вторая возможность заключается в том, что сначала образуют преобразование исключив из рассмотрения преобразование передних четырехполюсника объединяются в один новый четырехполюсник), и в полученное выражение подставляют преобразование

Выраженные символически уравнениями (2.20), (2.21) и (2.22) зависимости представляют собой так называемые групповые законы круговых преобразований; они являются тривиальными. Однако их символическое представление, как мы видим, имеет то преимущество, что благодаря ему довольно сложные выводы могут быть записаны в простом и доступном виде.