§ 3. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции

Мы рассмотрели случаи, когда функция стремится к некоторому пределу b при или при .

Рассмотрим теперь случай, когда функция y = f(x) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента.

Определение 1. Функция стремится к бесконечности при , т. е. является бесконечно большой величиной при , если для каждого положительного числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое что для всех значений отличных от а, удовлетворяющих условию имеет место неравенство

Если стремится к бесконечности при то пишут

или

Если стремится к бесконечности при и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут или

Пример 1. Докажем, что Действительно, при любом будем иметь если только Функция принимает только положительные значения (рис. 34).

Рис. 34.

Рис. 35.

Пример 2. Докажем, что Действительно, при любом будем иметь если только Здесь при при х > 0 (рис. 35).

Если функция стремится к бесконечности при то пишут

и, в частности, может быть

Например, и т. п.

Замечание 1. Функция y = f(x) при или при может не стремиться к конечному пределу или к бесконечности.

Пример 3. Функция определенная на бесконечном интервале при не стремится ни к конечному пределу, ни к бесконечности (рис. 36).

Пример 4. Функция определенная при всех значениях кроме значения не стремится ни к конечному пределу, ни к бесконечности при . График этой функции изображен на рис. 37.

Определение 2. Функция y = f(x) называется ограниченной в данной области изменения аргумента если существует положительное число М такое, что для всех значений принадлежащих рассматриваемой области, будет выполняться неравенство . Если же такого числа М не существует, то функция называется неограниченной в данной области.

Рис. 36.

Пример 5. Функция определенная в бесконечном интервале является ограниченной, так как при всех значениях

Определение 3. Функция называется ограниченной при если существует окрестность с центром в точке а, в которой данная функция ограничена.

Определение 4. Функция y = f(x) называется ограниченной при если существует такое число что при всех значениях удовлетворяющих неравенству функция ограничена.

Рис. 37.

Вопрос об ограниченности функции, стремящейся к пределу, решается следующей теоремой.

Теорема 1. Если при этом b есть конечное число, то функция является ограниченной при

Доказательство. Из равенства следует, что при любом найдется такое , что в окрестности будет выполняться неравенство или . А это и значит, что функция ограничена при

Замечание 2. Из определения ограниченной функции следует, что если или , т. е. если есть бесконечно большая, то она является неограниченной. Обратное не верно: неограниченная функция может и не быть бесконечно большой.

Например, функция при является неограниченной, так как для любого можно найти такие значения что . Но функция не является бесконечно большой, поскольку она обращается в нуль при . График функции изображен на рис. 38.

Теорема 2. Если то функция есть ограниченная функция при .

Рис. 38.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что при произвольном в некоторой окрестности точки будем иметь или ИЛИ или

Из последних неравенств следует

взяв, например, получаем

А это и значит, что функция ограничена.