§ 13. Обратная функция и ее дифференцирование

Пусть дана возрастающая (рис. 66) или убывающая функция.

определенная на некотором интервале (см. § 6 гл. I). Пусть Для определенности будем в дальнейшем рассматривать возрастающую функцию.

Рис. 66.

Рассмотрим два различных значения принадлежащих интервалу . Из определения возрастающей функции следует, что если Следовательно, двум различным значениям соответствуют два различных значения функции . Справедливо и обратное, т. е. если , то из определения возрастающей функции следует, что Таким образом, между значениями и соответствующими им значениями у устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Рассматривая эти значения у как значения аргумента, а значения как значения функции, получаем как функцию у:

Эта функция называется обратной для функции y = f(x). Очевидно, что и функция y = f(x) является обратной для функции Рассуждая аналогичным образом, можно доказать, что и убывающая функция имеет обратную.

Замечание 1. Укажем без доказательства, что если возрастающая (или убывающая) функция y = f(x) непрерывна на отрезке причем то обратная функция определена и непрерывна на отрезке

Пример 1. Пусть дана функция Эта функция — возрастающая на бесконечном интервале , она имеет обратную у (рис. 67),

Заметим, что обратная функция находится путем решения уравнения y = f(x) относительно х.

Рис. 67.

Рис. 68.

Пример 2. Пусть дана функция . Эта функция — возрастающая на бесконечном интервале Она имеет обратную . Область определения обратной функции

Замечание 2. Если функция не является ни возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций

Пример 3, Функция определена на бесконечном интервале . Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной. Если мы рассмотрим интервал то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет На интервале же функция — убывающая, и обратной для нее будет функция

Замечание 3. Если функции являются взаимно обратными, то графиками их является одна и та же кривая. Но если аргумент обратной функции мы обозначим снова через , а функцию через у и построим их в одной координатной системе, то получим уже два различных графика.

Легко видеть, что графики будут симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла.

Пример 4. На рис. 68 построены графики функции и обратной для нее функции , рассмотренных в примере 2.

Рис. 69.

Докажем, далее, теорему, позволяющую находить производную зная производную обратной функции.

Теорема. Если для функции

существует обратная функция

которая в рассматриваемой точке у имеет производную отличную от нуля, то в соответствующей точке функция имеет производную равную т. е. справедлива формула

Таким образом, производная одной из двух взаимно обратных функций равна единице, деленной на производную второй из этих функций при соответствующих значениях х и у.

Доказательство. Возьмем приращение тогда на основании (2)

Так как есть функций монотонная, то . Напишем тождество

Так как функция непрерывна, то при Переходя к пределу при в обеих частях равенства (3), получим

т. е. получили формулу (XVI).

Рис. 70.

Замечание. Если пользоваться теоремой о дифференцировании сложной функции, то формулу (XVI) можно получить так.

Дифференцируем обе части равенства (2) по считая у функцией от х. Получим откуда

Полученный результат наглядно иллюстрируется геометрически. Рассмотрим график функции Эта же кривая будет графиком функции где рассматривается уже как функция, а у — как независимая переменная. Рассмотрим некоторую точку этой кривой. Обозначим углы, образованные данной касательной с положительными направлениями осей соответственно через . На основании результатов § 3 о геометрическом значении производной имеем

Из рис. 70 следует, что если , то . Если то, как легко видеть, Следовательно, в любом случае откуда или Подставляя выражения для из формулы (4), получаем