Предисловие

Настоящее пособие предназначено для студентов технических вузов с относительно небольшим объемом курса математической физики, а также для инженеров и научных работников. Целью пособия является изложение (демонстрация) основных методов решения простейших задач классической математической физики.

Основным из рассматриваемых методов является метод суперпозиции. Этот метод позволяет на базе частных (атомарных) линейно независимых решений получать решение исходной линейной задачи. При этом «запас» атомарных решений должен быть полным. Этот метод развивает хорошо известный метод частных решений в теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В отличие от обыкновенного дифференциального уравнения, где число линейно независимых решений всегда конечно, для линейного уравнения с частными производными полный «запас» атомарных решений всегда является бесконечным. Причем это бесконечное множество решений может быть как дискретным (например, для регулярных краевых задач в ограниченной области), так и образовывать континуум (например, в случае задач во всем пространстве). В первом случае метод суперпозиции сводится к построению ряда с неизвестными коэффициентами при указанных атомарных решениях; во втором — к построению интеграла по соответствующим параметрам (переменным).

Этот первый шаг приводит нас к общему решению соответствующего однородного уравнения при условии, что запас атомарных решений является «полным». Следующий шаг, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, заключается в нахождении нужных коэффициентов по данным задачи.

Таким образом основой метода суперпозиции являются «атомарные» решения. Основным приемом нахождения таких решений является метод разделения переменных (при нулевых граничных условиях). К сожалению, этот метод оказывается применимым лишь для областей, обладающих определенной симметрией (например, для круга, прямоугольника, цилиндра, шара). В случае областей со сложной структурой найти эти «атомарные» решения не представляется возможным. В последнем случае можно использовать различные приближенные методы решения краевых задач, которых мы здесь не касаемся.

Другим методом, рассматриваемым в книге, является метод конформных отображений, позволяющий свести решение, например, задачи Дирихле для уравнения Лапласа в сложной области к рассмотрению задачи Дирихле для уравнения Лапласа в уже более простой области.

Наряду с этими методами мы излагаем методы интегральных преобразований (Фурье, Лапласа, Ханкеля) для нестационарных задач, которые также основываются на методе линейной суперпозиции.

Определенное место в пособии занимает круг задач, связанных с уравнениями четвертого порядка. Рассматриваются краевые задачи для бигармонического уравнения (в круге и полупространстве), для неоднородного уравнения четвертого порядка (в круге).

Дополнением к излагаемым методам решения эллиптических, гиперболических и параболических задач являются помещенные в конце каждой главы задачи для самостоятельного решения и ответы к ним. Отметим, что в главах 2 и 3 также имеются задачи для гиперболических и параболических уравнений четвертого порядка, к которым даны указания к решению.

Подчеркнем, что в связи с ориентацией книги на читателя, владеющего лишь дифференциальным и интегральным исчислением и некоторыми методами интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, мы не затрагиваем вопросов существования решений и их принадлежности к подходящим функциональным пространствам.

Все изложение носит формальный характер, которому при желании нетрудно придать точный математический смысл, пользуясь общей теорией линейных уравнений с частными производными. Читателя, желающего более глубоко изучить демонстрируемые и другие методы, мы отсылаем к списку литературы, включающему известные задачники. В частности, для практиков мы рекомендуем книгу С. Фарлоу «Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров» [22].