§ 2.7. Некоторые примеры смешанных задач для уравнения колебаний струны

Пример 1. Смешанная задача

имеет решение что устанавливается непосредственной проверкой.

Пример 2. Рассмотрим задачу:

Ее решение ищем в виде где функция, подлежащая определению. Подставим функцию в наше неоднородное уравнение. Получим уравнение

откуда следует, что

Из начальных условий вытекает, что Таким образом, функция является решением задачи Коши

Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения

будет функция Из начальных условий легко находим, что Следовательно,

Искомое решение смешанной задачи есть

Пример 3 [6, гл. VI, № 20.14(5)]. Решить следующую смешанную задачу:

Решение. Функцию будем искать в виде суммы где функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям. Тогда функция будет удовлетворять нулевым граничным условиям уравнению и начальным условиям

Итак, наша цель состоит в нахождении функции являющейся решением задачи

Для этого предварительно решим вспомогательную задачу: найти решение уравнения не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям и представимое

в виде произведения Имеем уравнение

или, после деления обеих его частей на

Левая часть этого равенства зависит только от а правая — только от Поскольку изменяются независимо друг от друга, то

где постоянная разделения. Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Из граничных условий и равенства следует откуда

Мы пришли к задаче Штурма-Лиувилля

Отсюда собственные значения и собственные функции задачи есть Из уравнения (2.15) следует, что

где произвольные постоянные,

Ясно, что функции

являются частными решениями уравнения удовлетворяющими нулевым граничным условиям.

Теперь решим две следующие задачи:

Решение задачи (2.16) дается рядом

где коэффициенты определяются по формулам

Значит,

Решение задачи (2.17) ищем в виде

(метод разложения по собственным функциям). Подставляя функцию в уравнение и учитывая, что найдем

или

Отсюда получаем задачу Коши для определения функции

С подобной задачей мы уже сталкивались. Поэтому сразу выписываем ее решение:

Следовательно, решение задачи (2.17) дается рядом

На основе принципа суперпозиции можно записать

Искомое решение есть

Покажем, что любая смешанная задача для волнового уравнения имеет единственное решение. Для этого проверим одно утверждение.

Утверждение. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в замкнутой области и является решением смешанной задачи

произвольно фиксированное положительное число. Тогда в области

Доказательство. Умножим уравнение на и проинтегрируем по области Получим

Заметим, что и поэтому

Далее, используя интегрирование по частям, имеем

поскольку (это получается дифференцированием по равенств Теперь получим

или

ибо (это получается дифференцированием по равенства

Интеграл

называется интегралом энергии. Мы видим, что Далее, из равенства нулю интеграла энергии следует, что в области Таким образом, в области Теперь из формулы Тейлора получаем, что в области Но непрерывна в Значит, в указанной области.