§ 1.14. Направленные электромагнитные волны

В этом параграфе мы рассмотрим задачи, связанные с установившимися процессами распространения электромагнитных волн вдоль систем, обладающих свойством создавать условия, при которых распространение волн происходит, в основном, в заданном направлении. Такие волны называются направленными, а направляющие их системы называются волноводами.

Основным приемом, которым мы будем пользоваться для упрощения рассмотрения этих задач, является представление электромагнитного поля в виде наложения волн нескольких типов.

Пусть ось проходит вдоль направления распространения волны. Электромагнитное поле волны определяется шестью компонентами, электрического и магнитного векторов. Представим его в виде суммы двух матриц:

Ясно, что электрический вектор ортогонален направлению распространения волны, тогда как магнитный вектор имеет отличную от нуля компоненту вдоль направления распространения. В матрице В вектор имеет отличную от нуля компоненту вдоль оси в то время как вектор ортогонален оси . В связи с этим волны, характеризуемые матрицей называются поперечно-электрическими -волны), а характеризуемые матрицей В — поперечно-магнитными (-волны).

Электромагнитную волну удобно считать или -волной, если или соответственно.

Имеется еще третий тип волн, характеризуемый матрицей

Это так называемые поперечно-электромагнитные волны или ТЕМ-волны.

Пример (ТМ-волны в волноводе круглого сечения).

Рассмотрим распространение -волн в цилиндре радиуса неограниченной длины. Известно, что эта задача связана с разрешимостью задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца вещественная постоянная)

Разделяя переменные с помощью подстановки приходим к уравнению

где постоянная разделения. Так как , то

Второе уравнение в (1.46) с помощью введения новой независимой переменной приводится к уравнению Бесселя порядка. Поскольку то

Здесь причем положительный корень функции

Бесселя первого рода порядка.

Таким образом, частные решения нашей задачи имеют вид

где произвольные постоянные. Каждое из решений соответствует определенной -волне, которая может без затухания распространяться в данном волноводе.

Замечание 1. Распространение -волны в цилиндре неограниченной длины связано с разрешимостью задачи Неймана для уравнения Гельмгольца

(здесь единичная внешняя нормаль цилиндрического волновода).

По аналогии с предыдущим примером получаем

где причем положительный корень уравнения

Замечание 2. Если известна компонента то остальные компоненты электрического и магнитного векторов находим одним лишь дифференцированием (это следует из уравнений Максвелла для электромагнитного поля).