§ 1.8. Краевые задачи для уравнения Лапласа и Пуассона в ограниченном цилиндре

Рассмотрение этих задач требует применения специальных функций — функций Бесселя.

Сначала рассмотрим краевую задачу для уравнения Лапласа в цилиндре.

Пример 1 [4, гл. IV, № 110]. Найти потенциал электростатического поля внутри цилиндрической коробки кругового сечения оба основания которой заземлены, а боковая поверхность заряжена до потенциала Определить напряженность поля на оси (рис. 1.3).

Решение. Требуется найти решение уравнения Лапласа внутри цилиндра с заданными граничными значениями:

(решение и не зависит от так как граничные значения на зависят от Воспользуемся методом разделения переменных. Подставляя выражение в уравнение Лапласа

получим

откуда, деля на будем иметь

или

где постоянная разделения. Очевидно, из физических соображений следует, что иначе функция а с ней и потенциал не обращались бы в нуль на верхнем и нижнем основаниях цилиндрической коробки.

Рис. 1.3

Из соотношений (1.20) вытекают два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Учитывая, что получаем стандартную задачу Штурма—Лиувилля

Отсюда находим собственные функции отвечающие собственным значениям Функцию

определяем из уравнения

являющегося уравнением Бесселя нулевого индекса мнимого аргумента. В самом деле, из уравнения (1.21) имеем

Переходя в этом уравнении к новой независимой переменной и учитывая, что

придем к уравнению

Его общее решение записывается в виде

где функции Бесселя индекса нуль мнимого аргумента соответственно первого и второго рода; произвольные постоянные. Так как (функция Макдональда) при то полагаем (в противном случае решение задачи является неограниченным на оси цилиндра). Таким образом,

«Атомами», из которых будет построено решение исходной задачи, являются функции

Решение нашей задачи представляется рядом

Постоянные находим из граничного условия Имеем

откуда

Следовательно,

Поле на оси цилиндра есть

Пример 2 [18]. Цилиндр, радиус основания которого и высота имеет температуру нижнего основания и боковой поверхности, равную нулю, а температура верхнего основания есть определенная функция от Найти стационарную температуру внутренних точек цилиндра.

Решение. Математическая постановка задачи имеет вид

Вновь полагая и подставляя в уравнение «Лапласа (как в предыдущем случае), получим два уравнения:

Отметим, что здесь (это будет ясно из решения). Из граничного условия следует Уравнение (1.22) можно записать в виде

Переходя к новой независимой переменной придем к уравнению Бесселя нулевого порядка

Рис. 1.4

Общее решение имеет вид

где функции Бесселя порядка нуль соответственно первого и второго рода; произвольные постоянные.

Возвращаясь к старой переменной будем иметь

Итак, в нашем случае задача Штурма-Лиувилля

приводится к решению уравнения Бесселя с указанными граничными условиями. Поскольку при то (полагаем Из условия следует Обозначая через положительные корни функции Бесселя (рис. 1.4), определяем собственные значения которым соответствуют собственные функции Далее, из уравнения при находим

где произвольные постоянные. Из граничного условия следует, что т.е. Таким образом, «атомы» решения суть функции

Решение задачи представляется рядом

Постоянные находим из граничного условия Имеем

Умножая обе части полученного равенства на и интегрируя результат по отрезку получим

но

где - функция Бесселя первого рода первого порядка. Следовательно, решение задачи имеет вид

Пример 3. Найти потенциал во внутренних точках заземленного цилиндра с радиусом основания и высотой если в цилиндре распределены электрические заряды с плотностью

Решение. Нужно найти решение уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями

Ищем решение в виде где функция подлежит определению. Подставляя функцию в уравнение (1.24), получим

Заметим теперь, что функция есть собственная функция уравнения Бесселя, т. е.

Поэтому (1.25) дает

откуда получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для определения

причем Решая эту краевую задачу, находим

Следовательно, решение имеет вид