§ 1.15. Метод конформных отображений (решение краевых задач на плоскости)

Методы теории функций комплексной переменной широко и эффективно применяются для решения большого числа математических задач, возникающих в различных областях естествознания. В частности, применение аналитических функций дает во многих случаях достаточно простые способы решения краевых задач для уравнения Лапласа. Это определяется тесной связью, существующей между аналитическими функциями комплексной переменной и гармоническими функциями двух действительных переменных, а также инвариантностью уравнения Лапласа при конформном отображении.

Предположим, что мы желаем решить уравнение Лапласа с каким-то граничным условием в области сложной формы в плоскости переменных х и у. Эту краевую задачу можно трансформировать в новую краевую задачу, в которой требуется решить уравнение Лапласа в более простой области переменных , причем вторая область получена из первой с помощью конформного отображения где (рис. 1.6).

После того как решение уравнения Лапласа в простой области (круге, полуплоскости, прямоугольнике) найдено, достаточно подставить в это решение выражения и мы получим решение исходной задачи выраженное через исходные переменные.

Приведем несколько примеров, в которых будет показано, как решать краевые задачи для уравнения Лапласа (на плоскости) с помощью конформных отображений.

Рис. 1.6

Рис. 1.7

Пример 1 [6, гл. Найти решение уравнения в первом квадранте с краевыми условиями функция Хевисайда.

Решение. Очевидно, комплексная функция определенная в первом квадранте комплексной плоскости 2, будет отображать эту область на всю полуплоскость в комплексной плоскости (рис. 1.7) так, что:

— положительная полуось переходит в положительную действительную полуось ?;

— положительная полуось у переходит в отрицательную действительную полуось ?.

Таким образом, приходим к следующему выводу.

Отметим еще, что из равенства т.е. из равенства следует, что

Решение задачи Дирихле на плоскости дается интегралом Пуассона

Учитывая начальное условие будем иметь

Отсюда, написав вместо вместо 77, получим решение исходной задачи

Пример 2 [6, гл. Найти решение задачи Дирихле для уравнения в полосе при краевых условиях

Решение. Комплексная функция определенная в полосе отображает эту полосу на всю полуплоскость в комплексной плоскости С (рис. 1.8) так, что:

— положительная ось переходит в положительную полуось

— отрицательная полуось переходит в интервал ;

— прямая переходит в отрицательную полуось . Таким образом, приходим к следующему выводу.

Отметим еще, что По предыдущему

Рис. 1.8

(пример 1) имеем

и поэтому решение имеет вид

Пример 3 [6, гл. V, 17.18]. Найти решение задачи Дирихле

Решение. Изобразим вначале область где требуется решить задачу Дирихле (рис. 1.9). Ее можно считать неконцентрическим кольцом (прямая — окружность бесконечного радиуса). Найдем конформное отображение области на концентрическое кольцо. Для этого найдем две точки, симметричные одновременно относительно прямой и относительно окружности Очевидно, что эти точки должны лежать на общем перпендикуляре к прямой и окружности, т. е. на действительной оси. Из симметрии относительно прямой следует, что это суть точки Из симметрии относительно окружности получаем откуда

Покажем, что искомое конформное отображение задается дробнолинейной функцией

Рис. 1.9

Рис. 1.10

Действительно, при этом отображении прямая переходит в окружность . По свойству сохранения симметрии точки переходят в точки симметричные относительно окружности . Следовательно, центр окружности . Далее, так как точка переходит в точку то — окружность

Покажем, что окружность при указанном отображении переходит в окружность . В самом деле, окружность при дробно-линейном отображении переходит в окружность и ее радиус

Таким образом, функция (1.47) конформно отображает область на концентрическое кольцо При этом отображении приходим к следующему выводу.

Решим задачу в кольце (на плоскости Поскольку граничные условия (1.49) не зависят от полярного угла то естественно предположить, что решение зависит только от переменной (у нас Найдем это решение, переписав уравнение Лапласа в виде

Общее решение этого уравнения есть

( произвольные постоянные). Из условий (1.49) находим

Значит,

Для нахождения решения исходной задачи достаточно вернуться к переменной 2, используя (1.47). Окончательно получим