§ 1.4. Интеграл Пуассона для круга. Запись в комплексной форме. Решение задачи Дирихле, когда граничное условие есть рациональная функция ...

Напомним, что решение внутренней и внешней задач Дирихле для круга можно представить в интегральной форме (интеграл Пуассона):

Покажем, что эти формулы — следствие общего метода суперпозиции.

Для определенности рассмотрим внутреннюю задачу, а для внешней запишем результат по аналогии.

Подставляя выражения для коэффициентов Фурье в формулу

будем иметь

Далее, учитывая, что и используя формулу суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получим

Следовательно,

Преобразуем формулу Пуассона к другому виду (комплексная запись). Заметим, что

так как

Поэтому интеграл Пуассона запишется в виде

Полагая в этом интеграле откуда получим окончательно

Если граничная функция является рациональной функцией от то интеграл в формуле (1.9) вычисляется с помощью вычетов.

Пример. Решить задачу Дирихле

Решение. Воспользуемся формулой (1.9). Пусть тогда функция примет вид

Вычислим интеграл

причем окружность ориентирована против часовой стрелки. Подынтегральная функция в нашем случае в области имеет одну конечную особую точку полюс первого порядка и устранимую особую точку По теореме Коши о вычетах для расширенной комплексной плоскости

Находим вначале вычет в точке

Далее, разложим в окрестности точки

Отсюда

Значит,

откуда

Таким образом, решение задачи Дирихле дается формулой