Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2.10. Метод Фурье. Колебания балкиМы уже встречались с уравнениями гиперболического типа четвертого порядка по пространственным переменным при использовании преобразований Фурье и Ханкеля. В качестве примера уравнения четвертого порядка в одномерном случае рассмотрим поперечные колебания тонкой балки. Главное отличие колебаний балки от поперечных колебаний струны состоит в том, что балка оказывает сопротивление изгибу Можно показать, применяя законы механики, что колебания балки, зажатой на одном конце, описываются уравнением (рис. 2.12)
(здесь Очевидно, граничными условиями для заданного конца
Рис. 2.12. Колебания балки инерции сечения балки относительно своей горизонтальной оси) и тангенциальная сила Для того чтобы полностью определить движение балки, зажатой на одном конце, нужно задать начальные условия: начальное отклонение и начальную скорость в каждом сечении балки, т. е. определить
Итак, рассмотрим следующую смешанную задачу:
Будем решать эту задачу методом разделения переменных в предположении, что ищутся периодические по времени
откуда следует
Ясно, что Для функции
при граничных условиях
Общее решение уравнения (2.54) представляется в виде
Из условий
Рис. 2.13. Определение корней уравнения
Однородная система (относительно неизвестных
Из уравнения (2.57) получаем алгебраическое уравнение для вычисления собственных значений задачи
Обозначив
Это уравнение можно решить графически (рис. 2.13). Корни уравнения (2.59) суть
Далее, для функции
Его общее решение записывается в виде
где Следовательно, «атомы» решения задачи (2.51), (2.52) образуются функциями
где
Согласно общей теории задачи Штурма-Лиувилля собственные функции
где коэффициенты
|
1 |
Оглавление
|