§ 2.10. Метод Фурье. Колебания балки

Мы уже встречались с уравнениями гиперболического типа четвертого порядка по пространственным переменным при использовании преобразований Фурье и Ханкеля. В качестве примера уравнения четвертого порядка в одномерном случае рассмотрим поперечные колебания тонкой балки. Главное отличие колебаний балки от поперечных колебаний струны состоит в том, что балка оказывает сопротивление изгибу Можно показать, применяя законы механики, что колебания балки, зажатой на одном конце, описываются уравнением (рис. 2.12)

(здесь смещение балки)

Очевидно, граничными условиями для заданного конца является неподвижность балки и горизонтальность касательной на свободном конце должны равняться нулю изгибающий момент модуль упругости материала балки, момент

Рис. 2.12. Колебания балки

инерции сечения балки относительно своей горизонтальной оси) и тангенциальная сила рис. 2.12). Отметим, что в уравнении плотность материала балки, площадь поперечного сечения балки).

Для того чтобы полностью определить движение балки, зажатой на одном конце, нужно задать начальные условия: начальное отклонение и начальную скорость в каждом сечении балки, т. е. определить

Итак, рассмотрим следующую смешанную задачу:

Будем решать эту задачу методом разделения переменных в предположении, что ищутся периодические по времени колебания балки. Полагая и подставляя предполагаемую форму решения в уравнение (2.51), получим

откуда следует

Ясно, что (для существования периодических по решений).

Для функции получаем задачу о собственных колебаниях

при граничных условиях

Общее решение уравнения (2.54) представляется в виде

Из условий находим, что Отсюда следует

Рис. 2.13. Определение корней уравнения Граничные условия (2.55) на правом конце балки дают

Однородная система (относительно неизвестных (2.56) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:

Из уравнения (2.57) получаем алгебраическое уравнение для вычисления собственных значений задачи

Обозначив и воспользовавшись равенством из уравнения (2.58) найдем

Это уравнение можно решить графически (рис. 2.13).

Корни уравнения (2.59) суть

Далее, для функции имеем уравнение

Его общее решение записывается в виде

где произвольные постоянные.

Следовательно, «атомы» решения задачи (2.51), (2.52) образуются функциями

где

Согласно общей теории задачи Штурма-Лиувилля собственные функции образуют полную ортогональную систему функций на отрезке Тогда решение задачи (2.51)-(2.53) дается рядом

где коэффициенты определяются из начальных условий по формулам