§ 1.9. Краевые задачи для уравнения Лапласа и Пуассона в шаре

Рассмотрение этих задач требует применения сферических и шаровых функций.

Напомним, что общее решение уравнений Лапласа имеет вид сферические координаты):

внутри сферы радиуса а;

вне сферы радиуса а;

в шаровом слое.

Здесь где — так называемые присоединенные функции Лежандра.

Пример 1. Найти решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре при граничном условии

Решение. В сферической системе координат постановка задачи имеет следующий вид:

Полагая и подставляя это выражение в уравнение (1.26), получим

откуда в результате деления на получаем

или

где постоянная разделения. Отсюда следуют два уравнения:

причем функция должна быть ограничена на всей сфере.

При этом функция удовлетворяет условиям

Как известно, ограниченные решения уравнения (1.27), обладающие непрерывными до второго порядка производными, называются сферическими функциями.

Решение задачи (1.27), (1.28) для также ищем методом разделения переменных, полагая Подставляя в уравнение (1.27), будем иметь

откуда

Функцию находим, решая задачу

Такую задачу мы решали, рассматривая уравнение Лапласа в круге, и нашли, что где произвольные постоянные;

Функция определяется из уравнения

и условий ограниченности при Вводя новую переменную и учитывая, что

из уравнения (1.29) получим краевую задачу на собственные функции и собственные значения

Собственные функции полученной задачи:

— присоединенные функции Лежандра. Отсюда решение уравнения (1.29) есть функция

Комбинируя решения уравнения (1.29) с решением уравнения получим сферических функций:

Общее решение уравнения (1.27) при запишется в виде

Вернемся к отысканию функции Полагая и подставляя в уравнение получим откуда с Следовательно, «атомами» решения являются функции

Но решения необходимо отбросить, поскольку они не ограничены при Следовательно, в качестве решения берем ряд

Осталось подобрать постоянные так, чтобы выполнялось граничное условие

Имеем

т. е. имеет место равенство

Отсюда следует, что в сумме нужно взять лишь одно слагаемое, соответствующее Таким образом, получаем

Коэффициенты можно найти, следуя общей формуле: если

то

Однако удобнее сделать это так. Имеем

Поэтому

откуда следует Таким образом, решение задачи имеет вид

Пример 2. Найти функцию гармоническую внутри сферического слоя и такую, что

Рис. 1.5

Решение. Математическая запись задачи:

(рис. 1.5).

Решение задачи записывается в виде

где числа подлежат определению. Из граничных условий получаем следующие системы уравнений для определения

коэффициентов разложения:

Все остальные коэффициенты равны нулю. Решая записанные системы уравнений, найдем

Итак, гармоническая функция имеет вид

Пример 3 Найти функцию , гармоническую внутри сферического слоя и такую, что

Решение. Математическая запись задачи:

Имеем

Из граничных условий следует, что в этой сумме нужно взять только слагаемые, соответствующие индексам

Другими словами, решение удобно искать в виде

Используя граничные условия, получим следующие уравнения для определения коэффициентов

Из них находим Тогда решение есть

Пример 4 [4, гл. IV, № 125]. Найти решение задачи Неймана для уравнения Лапласа внутри сферы радиуса а при условии

Решение. Здесь мы сталкиваемся с осесимметричным случаем решения задачи Неймана для уравнения Лапласа, так как граничное условие не зависит от таким образом, решение не зависит от

Прежде всего, легко убедиться в выполнении необходимого условия разрешимости данной задачи. Имеем

Уравнение Лапласа в этом случае имеет вид

Полагая и подставляя это выражение в уравнение, получим после разделения переменных два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Переходя в уравнении (1.31) к новой переменной приходим к уравнению Лежандра

при условии Ограниченными решениями уравнения Лежандра (1.32) на интервале являются полиномы Лежандра

при Отсюда следует, что ограниченными решениями уравнения (1.31) на интервале ( являются функции Ограниченными решениями уравнения (1.30) являются функции Тогда

где постоянные определяются из граничного условия Имеем или, полагая

откуда, применяя формулу

найдем Таким образом, решение имеет вид

где С — произвольная постоянная.

Пример 5. Решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона в шаре радиуса а с центром в начале координат

Решение. Переходя к сферическим координатам, будем искать решение в виде суммы

где функция определяется как решение задачи

а функция как решение задачи

Решим вначале задачу (1.33). Ищем решение в виде

где присоединенная функция Лежандра с индексами Подставляя в уравнение задачи (1.33), будем иметь (обозначая

Но по определению сферической функции имеет место равенство

Поэтому

откуда получим уравнение

с граничными условиями Итак, для определения функции имеем задачу

Решая ее, найдем Решение задачи (1.34) есть Таким образом,

Замечание 1. В общем случае при решении внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа с условием (О — шар радиуса а с центром в начале координат, — его граница) имеем соотношение

где коэффициенты находятся по формулам

причем

Замечание 2. Решение упомянутой внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в точке можно представить в интегральной форме (интеграл Пуассона)

где