Глава 2. Гиперболические задачи

До сих пор мы занимались установившимися физическими процессами, которые описывались эллиптическими уравнениями. Теперь приступим к изучению еще одного класса уравнений с частными производными — гиперболических уравнений. Начнем с одномерного волнового уравнения которое описывает, в частности, поперечное колебание струны.

§ 2.1. Метод бегущих волн

Одномерный случай (одна пространственная переменная). Рассмотрим задачу Коши

т. е. функция ищется в верхней полуплоскости на плоскости (рис. 2.1).

Хорошо известно, что эта задача описывает движение бесконечной струны с заданными начальными условиями. Ее решение представляется

Рис. 2.1.

Рис. 2.2

формулой Даламбера

Эту формулу можно переписать так:

С физической точки зрения это решение интересно тем, что оно представляет сумму двух бегущих волн, движущихся в противоположных направлениях со скоростью а (рис. 2.2).

Рис. 2.3

Дадим пространственно-временную интерпретацию формулы Даламбера. Возьмем на -плоскости (рис. 2.3) произвольную точку и проведем из нее две прямые: (указанные прямые называются характеристиками волнового уравнения Тогда решение в точке можно интерпретировать как среднее значение функции в точках плюс интеграл с точностью до множителя от начальной скорости в пределах от до

Замечание. Если мы рассматриваем неоднородную задачу Коши с однородными начальными условиями

то, используя метод толчков (метод Дюамеля), можно получить ее решение в виде

Пример 1 [4, гл. II, №57]. По неограниченной струне бежит волна Приняв эту волну за начальное возмущение струны в момент найти состояние струны при

Решение. В рассматриваемой задаче бегущая волна в момент характеризуется отличными от нуля «начальными» отклонениями и скоростями

Таким образом, получаем задачу Коши

По формуле Даламбера получаем

Пример 2 [6, гл. VI, 21.23]. Найти состояние нагруженной полуограниченной струны в задаче

т. е. функция ищется в первом квадранте (рис. 2.4) на плоскости

Решение. Найдем вначале частное решение уравнения не обращая внимания на начальные и граничное условия. Будем считать, что это частное решение т.е. оно зависит только от Тогда для его нахождения получим уравнение откуда Перейдем теперь к новой функции Тогда из

Рис. 2.4

Рис. 2.5

уравнения (2.1) получим уравнение и задачу для определения

Очевидно, что решение при можно записать по формуле Даламбера (рис. 2.5) в виде

Решение задачи (2.2) при ищем в виде

Функции найдем, используя непрерывность решения на характеристике и граничное условие . В самом деле, на характеристике имеем равенство откуда Далее, из граничного условия (2.2) имеем откуда интегрированием получим Ясно, что Итак, мы пришли к системе двух уравнений с двумя неизвестными функциями

Отсюда Тогда при

Следовательно, искомое решение при есть

Пример 3 [4, гл. II, №78]. Неограниченный упругий стержень получен соединением в точке двух полуограниченных однородных стержней. При плотность массы, модуль упругости стержня и скорость распространения малых продольных возмущений соответственно равны при они равны Пусть из области по стержню бежит волна Найти отраженную и преломленную волны. Исследовать решение при и при

Решение. Для отклонения точек стержня можно записать уравнения

и начальные условия

К этим уравнениям и начальным условиям нужно добавить еще условие сопряжения

Искомые функции ищем в виде

Функции определим из начальных условий и условий сопряжения. Прежде всего, используя (2.3), можно записать

или, интегрируя вторые уравнения в (2.5), (2.6) и обозначая

Решив систему (2.7), найдем

Значит,

Решив систему (2.8), найдем

Отсюда

Теперь из условия сопряжения определим функции Из равенства следует, что

а из равенства следует, что

Учитывая, что получим

интегрируя, будем иметь

Таким образом, для нахождения получим систему уравнений

Отсюда

Итак, решение представляется парой функций

Слагаемое

при является отраженной волной. Очевидно, эта волна отсутствует, если Если то отраженная волна есть ; если же то отраженная волна есть

Преломленная волна есть Если то эта волна имеет амплитуду, в два раза большую, чем падающая волна; если то преломленной волны нет.

Пример 4 [4, гл. III, №442]. Решить задачу Коши

Решение. Применим формулу Даламбера

дающую решение задачи Коши

В нашем случае Искомое решение имеет вид

Двумерный случай (две пространственные переменные). Здесь мы рассмотрим двумерное волновое уравнение. Эти уравнения описывают процессы распространения звука в газе, колебаний мембраны, распространения электромагнитных волн и т.д.

Задачей Коши для двумерного волнового уравнения называется задача нахождения функции удовлетворяющей уравнению

и начальным условиям

т. е. функция ищется в верхнем полупространстве (рис. 2.6).

Решение этой задачи существует, единственно и выражается формулой Пуассона

где круг радиуса с центром в точке (рис. 2.7).

Рис. 2.6

Рис. 2.7

Пример 5 [6, гл. IV, 12, 37(2)]. Решить задачу Коши

Решение. Применим формулу Пуассона, полагая

Имеем

Интегрирование проводится по кругам Очевидно, что

Вычислим отдельно каждый из записанных интегралов:

(см. скан)

Наконец,

Следовательно, искомое решение есть

Трехмерный случай (три пространственные переменные). Задачей Коши для трехмерного волнового уравнения называется задача нахождения функции удовлетворяющей уравнению

и начальным условиям

Решение этой задачи существует, единственно и выражается формулой Кирхгофа

где — сфера радиуса с центром в точке (рис. 2.8).

Пример 6 [6, гл. Решить задачу Коши

Решение. Применим формулу Кирхгофа, полагая

Получим

Рис. 2.8

Здесь интегрирование проводится по сферам радиусов центром в точке (см. рис. 2.8). Ясно, что если то

Вычислим отдельно каждый из записанных интегралов:

(см. скан)

Итак, решение задачи Коши есть