§ 3.3. Метод Фурье (метод разделения переменных)

С этим методом мы уже имели дело, изучая гиперболические задачи. Блок-схема применения метода разделения переменных для решения параболических задач аналогична блок-схеме метода Фурье для решения гиперболических задач.

Случай отрезка.

Пример 1. Решить смешанную задачу

Решение. Применяя метод разделения переменных, т. е. находя решение вспомогательной задачи

в виде получим задачу Штурма-Лиувилля для определения функции

с решением и уравнение

для определения Поскольку то

«Атомы» решения нашей задачи суть функции

или

Поэтому решение исходной задачи дается рядом

В нашем случае, учитывая начальное условие, получим

Пример 2. Решить смешанную задачу

Решение. Функцию ищем в виде Подставим это выражение в уравнение. Получим

откуда

Решив эту задачу Коши, найдем Следовательно,

Случай круга.

Пример 3. Решить задачу о распространении тепла в круге радиуса (рис. 3.3).

Математическая постановка задачи:

где положительный корень уравнения

Рис. 3.3. Распространение тепла в круге

Решение. Записав оператор Лапласа в полярной системе координат, будем иметь уравнение

Поскольку начальное и граничное условия не зависят от то и решение также не зависит от Поэтому т. е. получаем уравнение

Ищем решение уравнения в виде с учетом Подставляя это выражение в уравнение, будем иметь

или, разделяя переменные,

Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Обратимся к рассмотрению уравнения 1). Его можно переписать так:

Сделаем замену переменной

Тогда, обозначив получим

Значит, имеем уравнение

Это уравнение Бесселя индекса нуль. Его решение есть

где функции Бесселя индекса нуль первого и второго рода соответственно, произвольные постоянные. Очевидно, что ибо решение нашей задачи конечно в центре круга. Поэтому или (считая

По условию Значит,

Обозначив через положительные корни функции Бесселя найдем собственные значения нашей задачи где

Собственные функции суть

Из уравнения 2) находим теперь Имеем

Таким образом, решение нашей задачи представляется рядом

Используя начальное условие, легко находим, что если Итак, искомое решение есть

Случай прямоугольника.

Пример 4. Решить задачу о распространении тепла в прямоугольнике (рис. 3.4).

где граница прямоугольника.

Рис. 3.4. Распространение тепла в прямоугольнике

Решение задачи (3.6), (3.8) ищем в виде

Подставляя это выражение в уравнение теплопроводности, получим

или

Отсюда получаем два уравнения

(где (3.9) — уравнение с частными производными, (3.10) — обыкновенное дифференциальное уравнение).

Обратимся к уравнению (3.9). Из граничного условия следует, что (здесь граница прямоугольника). Рассмотрим задачу иувилля

Ищем решение этой задачи в виде

Подставим это выражение в уравнение (3.11). Получим

или

или

Отсюда имеем два уравнения

Для уравнения (3.12) из граничного условия вытекает (соответственно для уравнения ).

Задача Штурма-Лиувилля

ранее неоднократно рассматривалась, и мы сразу выписываем

Аналогично для уравнения (3.13) будем иметь граничные условия

где

Таким образом,

Из уравнения (3.10) следует

Решение исходной задачи записывается в виде ряда

Рис. 3.5. Распространение тепла в цилиндре

Учитывая начальное условие, получим Все остальные коэффициенты равны нулю. Поэтому решение

Случай цилиндра.

Пример 5. Найти температуру ограниченного круглого цилиндра (рис. 3.5), поверхность которого поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная температура есть

Решение. Математическая постановка задачи:

Здесь

Поскольку начальное и граничное условия не зависят от то решение задачи также не зависит от так что Ищем решение задачи (3.14), (3.16) в виде

Подставляя эту функцию в уравнение (3.14)

получим

откуда делением на произведение найдем

Отсюда получаем два уравнения

Из уравнения (3.17) следует, что

Таким образом, имеем задачу Штурма-Лиувилля

Ее решение есть

Из системы равенств (3.19) следует, что

или

если обозначить

С уравнением (3.20) мы уже встречались и оно имеет решение где функция Бесселя индекса нуль первого порядка. Из граничного условия вытекает, что т. е. откуда

Следовательно,

— собственные значения и

— собственные функции нашей задачи. Из уравнения (3.18) теперь следует, что

Таким образом, решение имеет вид

Из начального условия определяем коэффициенты Именно, имеем если

Итак,

Пример 6 [4, гл. V, №28]. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра при условии, что начальная температура есть

а на его поверхности поддерживается температура, равная нулю. Найти в условиях регулярного режима приближенное выражение для температуры, средней по поперечному сечению цилиндра.

Решение. Математическая постановка задачи имеет вид

Предварительно рассмотрим вспомогательную задачу

Решение задачи (3.22) будем искать в виде

Подставляя функцию (3.23) в уравнение (3.22), получим

откуда после деления на обеих частей этого равенства найдем

где постоянная разделения.

Отсюда имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Общее решение уравнения (3.24) будет иметь вид

Поскольку то (иначе при так как при . Таким образом,

Из граничного условия следует Поэтому откуда где положительные корни уравнения Значит,

Теперь из уравнения (3.25) при находим

где С — произвольная постоянная.

Таким образом, «атомами» решения задачи (3.22) будут функции

Решение исходной задачи (3.21) дается рядом

где постоянные подлежат определению. Постоянные находим из начального условия

Полагая в будем иметь

Следовательно,

С таким интегралом мы уже встречались. Поэтому выписываем сразу ответ:

Значит, решение исходной задачи есть

Заметим, что поскольку корни функции Бесселя возрастают с ростом подчиняясь формуле

то при главным в указанной сумме является первый член, так что при достаточно больших значениях имеем

Средняя по поперечному сечению температура есть

поскольку

Случай шара.

Пример 7. Решить задачу о распространении тепла в шаре радиуса с центром в начале координат

(здесь первый положительный корень уравнения Решение. Запишем оператор Лапласа в сферической системе:

Ищем решение нашей задачи в виде

Подставляя это выражение в уравнение распространения тепла, находим

Отсюда вытекает равенство

Оно дает следующие два уравнения:

Здесь оператор имеет вид

Из уравнения (3.27) следует

Здесь постоянные разделения. Из (3.27) имеем

К уравнению (3.30) надо добавить «граничные» условия

Таким образом, мы получили задачу (3.30), (3.31) — задачу Штурма—Лиувилля: найти те значения параметра при которых задача (3.30), (3.31) имеет нетривиальные решения, и найти эти решения. Ищем решения этой задачи в виде

Прежде всего заметим, что из равенства

следует

Тогда уравнение (3.30) дает

откуда

или

или

где новая постоянная разделения. Отсюда имеем задачу

Легко можно показать, что

Теперь получаем задачу для определения

Обозначим Тогда полученное уравнение приводится к виду

(здесь

Мы получили краевую задачу для присоединенного уравнения Лежандра. Собственные значения задачи (3.35), , где Собственные функции имеют вид

где полином Лежандра степени (здесь так называемая присоединенная функция Лежандра порядка

Таким образом, решения уравнения (3.30) при условиях (3.31) суть сферические функции

Обратимся теперь к соотношению (3.29). Учитывая и граничное условие получим для функции следующую граничную задачу:

С помощью подстановки уравнение (3.37) приводится к уравнению Бесселя полуцелого индекса

общее решение которого имеет вид

(здесь функции Бесселя первого и второго рода соответственно индекса произвольные постоянные.

Очевидно, надо положить

Тогда из условия найдем

Следовательно,

где положительные корни уравнения

Ясно, что каждому собственному значению отвечает собственных функций

где

Далее, из уравнения 2) следует, что

где — некоторая константа. Отсюда получаем элементарное решение задачи

Здесь сферическая гармоника есть

— постоянные). Следовательно, решение имеет вид

Используя начальное условие будем иметь