§ 1.5. Внутренняя и внешняя задачи Неймана для круга

Очевидно, что в случае круга радиуса с центром в начале координат внешняя нормальная производная есть Поэтому решение внутренней задачи Неймана ищется в виде ряда

где коэффициенты определяются из краевого условия т. е. имеем

Решение внешней задачи Неймана ищется в виде ряда

где коэффициенты определяемые из краевого условия вычисляются по тем же формулам (1.10) (учтем, что

Пример. Найти установившуюся температуру внутри неограниченного цилиндра радиуса если на его боковой поверхности задан тепловой поток

Решение. Надо решить внутреннюю задачу Неймана

Прежде всего необходимо проверить выполнение условия разрешимости данной задачи Неймана, т.е. убедиться, что (здесь С — окружность нашего круга).

В самом деле,

Далее, поскольку то а все остальные коэффициенты в ряде, дающем решение внутренней задачи Неймана, обращаются в нуль. Поэтому решение имеет вид

где С — произвольная постоянная.

Замечание. Задача Неймана может быть решена и для кольца. Граничные условия в этом случае будут состоять в задании внешней нормальной производной:

При этом решение задачи возможно только при выполнении условия

и определяется с точностью до произвольной постоянной.